Um cabo coaxial é formado por um condutor cilíndrico central de raio 5,0 mm e um tubo coaxial de raios 6,0 mm e 8,0 mm. Ambos transportam correntes de 1,0 A em sentidos contrários. Obtenha o módulo do campo magnético a 7,0 mm do eixo do cabo.

Passo 1

Beleza, olha o que a questão tá pedindo: um cabo coaxial tem um fio cilíndrico interno de raio 5,0 mm que carrega 1,0 A e um tubo externo com raios interno 6,0 mm e externo 8,0 mm carregando 1,0 A no sentido contrário. Queremos achar o módulo do campo magnético a 7,0 mm do eixo.
Conteúdo: magnetostática e Lei de Ampère. Vamos precisar converter mm em metros, entender corrente envolvida e usar
oint vec Bcdot dvec ell = mu0,Irm encl,

Passo 2

Primeiro, a Lei de Ampère diz que, ao contornar o cabo com um caminho circular de raio r, o módulo do campo é
B(r),2pi r = mu0,Irm encl(r),,
ou seja
B(r) = mu0,Irm encl(r)2pi r,
Aqui mu0 = 4pitimes10^-7,Tcdot m/A e Irm encl é a corrente total “dentro” desse raio.

Passo 3

Como r=7,0rm,mm=0,007,m cai entre 6 mm e 8 mm, temos:
  1. o condutor interno (até 5 mm) contribui com toda a corrente I1=+1,0,A.
  2. o tubo externo (entre 6 mm e 8 mm) só aporta uma parte da sua corrente I2=1,0,A, proporcional à seção interna até 7 mm.
O sentido do tubo é oposto, então contaremos essa parte como negativa.

Passo 4

Vamos achar a corrente parcial do tubo externo até r=7,mm. A densidade de corrente é uniforme no tubo:
J = I2pil(b^2 - a^2r),
onde a=6,0rm,mm=0,006,m e b=8,0rm,mm=0,008,m.
A corrente dentro de 6 mm a 7 mm é
$$I_{2,\rm encl} = J\cdot \pi\bigl(r^2 - a^2\bigr)
= I_2;\frac{r^2 - a2}{b2 - a^2},. $$

Passo 5

Calculando os valores numéricos:
r²–a² = (0,007^2 - 0,006^2)rm,m^2 = 13times10^-6,m^2
b²–a² = (0,008^2 - 0,006^2)rm,m^2 = 28times10^-6,m^2
Então
$$I_{2,\rm encl} = 1{,}0;\frac{13\times10{-6}}{28\times10{-6}}
\approx 0{,}4643\ \mathrm{A}.$$
Como esse I2,rm encl = 1,0;13times10^-628times10^-6 approx 0,4643 A é oposto ao condutor interno, a corrente total envolvida é
$$I_{\rm encl} = I_1 - I_{2,\rm encl}
= 1{,}0 - 0{,}4643 = 0{,}5357\ \mathrm{A}. I2,rm enclíèB = \frac{\mu_0,I_{\rm encl}}{2\pi r}
= \frac{4\pi\times10^{-7}\times0{,}5357}{2\pi\times0{,}007}
\approx 1{,}53\times10^{-5},\mathrm{T}.$$

Resposta

O módulo do campo magnético a 7,0 mm do eixo é
boxedB approx 1,5times10^-5 T

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