Em um experimento, duas cordas vibram com frequências de 200 Hz e 202 Hz . O número de máximos de intensidade sonora ouvidos por segundo será:
\bigcirc a. 2
\bigcirc b. 1
\bigcirc c. 202
\bigcirc d. 201

Passo 1

Dados do enunciado: duas cordas vibram com frequências 200\\ \mathrm{Hz} e 202\\ \mathrm{Hz}.
Pergunta: qual é o número de máximos de intensidade sonora ouvidos por segundo?

Passo 2

Modelagem das ondas sonoras: cada corda produz uma onda sonora harmônica que podemos escrever assim:
s_1(t)=A\cos\bigl(2\pi f_1 t\bigr),\qquad s_2(t)=A\cos\bigl(2\pi f_2 t\bigr),
onde A é a amplitude (mesma para simplificar), f_1 e f_2 são as frequências ( 200\\ \mathrm{Hz} e 202\\ \mathrm{Hz}) e t é o tempo. A soma das duas ondas dá o sinal que ouvimos:
s(t)=s_1(t)+s_2(t).

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica
\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\!\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\!\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right).
Aplicando com \alpha=2\pi f_1 t e \beta=2\pi f_2 t obtemos
s(t)=2A\cos\!\biggl(2\pi\frac{f_1+f_2}{2}\,t\biggr)\cos\!\biggl(2\pi\frac{f_1-f_2}{2}\,t\biggr).
Interpretação: o som é um produto de duas oscilações: uma de frequência média \dfrac{f_1+f_2}{2} (portadora) e outra, a envoltória, com frequência \dfrac{|f_1-f_2|}{2}.

Passo 4

O que ouvimos como variação de intensidade (os “batimentos”) está ligado à envoltória do sinal. A amplitude instantânea é proporcional a
\cos\!\biggl(2\pi\frac{|f_1-f_2|}{2}\,t\biggr).
Porém, a intensidade sonora percebida é proporcional ao quadrado da amplitude. Então a intensidade tem termo
\cos^2\!\biggl(2\pi\frac{|f_1-f_2|}{2}\,t\biggr).
Usando \cos^2\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}, vemos que a componente variável da intensidade oscila com frequência
2\cdot\frac{|f_1-f_2|}{2}=|f_1-f_2|.
Portanto, os máximos de intensidade (os picos audíveis dos batimentos) ocorrem com frequência igual à diferença absoluta entre as frequências das cordas.

Passo 5

Calcule a diferença:
|f_2-f_1|=|202-200|=2\\ \mathrm{Hz}.
Logo ocorrem 2 máximos de intensidade por segundo.

Resposta

a. 2

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