Um cabo coaxial longo é constituído por dois condutores concêntricos (raios a e b) com uma região vazia entre eles. Os dois condutores são percorridos pela mesma corrente em sentidos opostos, calcule: B no interior do condutor interno.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cabo coaxial longo com dois fios concêntricos, ou seja, um dentro do outro, com raios $ a $ e $ b $. Esses dois fios estão com correntes iguais, mas em direções opostas. Nosso objetivo aqui é calcular o campo magnético $ B $ que existe dentro do fio interno, ou seja, na região com raio menor que $ a $.
Matéria envolvida: Eletromagnetismo, especificamente o Campo Magnético e a Lei de Ampère.
O que vamos precisar: Vamos usar a Lei de Ampère para relacionar o campo magnético com a corrente que passa pelo fio interno.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como a corrente está distribuída dentro do fio interno. Supondo que a corrente seja distribuída de maneira uniforme, podemos definir uma densidade de corrente $ J $.
A densidade de corrente $ J $ é dada por:
J
Aqui, $ I $ é a corrente total passando pelo fio interno e $ \pi a^2 $ é a área da seção transversal do fio.

Passo 3

Agora, vamos escolher um caminho fechado para aplicar a Lei de Ampère. A escolha mais conveniente aqui é um círculo de raio $ r $ menor que $ a $ ($ r < a $), centrado no mesmo eixo dos condutores. Esse caminho será nossa percursora para calcular o campo magnético $ B $.

Passo 4

Vamos aplicar a Lei de Ampère, que diz:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
Onde:
  • $ \oint B \cdot dl $ é a integral do campo magnético ao longo do caminho escolhido.
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo.
  • $ I_{enc} $ é a corrente encerrada pelo caminho.

Passo 5

Precisamos agora calcular a corrente encerrada $ I_{enc} $ pelo nosso caminho de raio $ r $. Como a corrente está distribuída uniformemente, a corrente encerrada será proporcional à área do círculo de raio $ r $.
Ienc

Passo 6

Voltando à Lei de Ampère, temos:
B times 2pi r = mu0 I ( r^2a^2 )
Aqui, $ 2\pi r $ é o comprimento do caminho circular.

Passo 7

Agora, isolamos o campo magnético $ B $:
B

Resposta

O campo magnético no interior do condutor interno é:
B = mu0 I r2pi a^2

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