Calcule o campo magnético no interior de um solenóide longo e de raio a que é percorrido por uma corrente
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o campo magnético dentro de um solenóide longo de raio $ a $ que tem uma corrente $ i_{0} $ passando por ele. A gente vai usar conceitos de Eletromagnetismo, mais especificamente a Lei de Ampère, que relaciona campos magnéticos com correntes elétricas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é um solenóide. Um solenóide é basicamente uma bobina longa com muitas voltas de fio. Quando a corrente $ i_{0} $ passa por esse fio, ela cria um campo magnético ao redor das voltas.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Lei de Ampère, que diz que o caminho fechado da integral do campo magnético $ \mathbf{B} $ ao longo de um percurso é igual à permeabilidade magnética do vácuo $ \mu_{0} $ multiplicada pela corrente total $ I $ que passa pelo percurso:
Passo 4
No caso de um solenóide longo, a simetria do problema faz com que o campo magnético seja uniforme e paralelo ao eixo do solenóide dentro dele, e praticamente zero fora. Vamos escolher um caminho de Ampère que seja um retângulo, onde um dos lados está dentro do solenóide e o restante fora.
Passo 5
A integral ao longo do caminho de Ampère simplifica porque apenas a parte dentro do solenóide contribui para a integral. Então, temos:
onde $ l $ é o comprimento do solenóide.
Passo 6
Sabemos que a corrente total $ I $ que atravessa o caminho de Ampère é igual ao número de espiras $ N $ por unidade de comprimento $ n $ vezes a corrente $ i_{0} $:
Passo 7
Substituindo isso na equação anterior, temos:
Podemos simplificar o $ l $ dos dois lados:
Resposta
O campo magnético no interior do solenóide é dado por
onde $ \mu_{0} $ é a permeabilidade do vácuo e $ n $ é o número de espiras por unidade de comprimento.