Numa espira retangular de lados a e b circula uma corrente i. Determine B no centro da espira.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos uma espira retangular com lados de comprimentos a e b, e por ela circula uma corrente elétrica i. Nosso objetivo é determinar o campo magnético ( B) no centro dessa espira. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por uma corrente elétrica em um ponto específico no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Lei de Biot-Savart. Ela nos diz que o campo magnético dB gerado por um elemento de corrente I dl em um ponto no espaço é dado por:
dB = mu04pi I dl times rr^2
Aqui, mu0 é a permeabilidade do vácuo, r é o vetor unitário que aponta do elemento de corrente até o ponto onde queremos calcular B, e r é a distância entre eles.

Passo 3

No nosso caso, como a espira é retangular, podemos dividir o cálculo do campo magnético em quatro partes, correspondentes aos quatro lados do retângulo. Vamos calcular o campo magnético devido a um lado e depois multiplicar por quatro, já que todos os lados vão contribuir da mesma forma no centro.

Passo 4

Vamos considerar um dos lados de comprimento a. A distância do centro da espira a esse lado é b/2. Aplicando a Lei de Biot-Savart para esse lado, o campo magnético no centro devido a ele é:
Ba = mu0 i a4pi (a^2 + b^2)^3/2
O mesmo vale para o lado oposto também de comprimento a. Portanto, a contribuição total dos dois lados de comprimento a é:
Ba,total = 2 times Ba = mu0 i a2pi (a^2 + b^2)^3/2

Passo 5

Agora, vamos calcular o campo magnético devido aos dois lados de comprimento b. De maneira semelhante, a distância do centro a cada um desses lados é a/2, e o campo magnético devido a um deles é:
Bb = mu0 i b4pi (a^2 + b^2)^3/2
Para os dois lados de comprimento b:
Bb,total = 2 times Bb = mu0 i b2pi (a^2 + b^2)^3/2

Passo 6

Agora, somamos as contribuições dos lados de comprimento a e b para obter o campo magnético total no centro da espira:
Btotal = Ba,total + Bb,total = mu0 i (a + b)2pi (a^2 + b^2)^3/2

Resposta

Então, o campo magnético no centro da espira retangular é:
B = mu0 i (a + b)2pi (a^2 + b^2)^3/2

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