Numa espira retangular de lados a e b circula uma corrente i. Determine B sobre os pontos do eixo de simetria ortogonal à espira. Dê sua resposta em função da distância x ao centro da espira.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma espira retangular com lados de comprimento $ a $ e $ b $ e uma corrente elétrica $ i $ passando por ela. A missão é descobrir o campo magnético $ \mathbf{B} $ em pontos que estão no eixo de simetria, que é a linha perpendicular ao centro da espira, a uma distância $ x $ do centro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Magnetostática, especificamente a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por uma corrente elétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Lei de Biot-Savart. Ela nos diz que o campo magnético $ d\mathbf{B} $ gerado por um elemento de corrente $ I d\mathbf{l} $ em um ponto no espaço é dado por:
dB
Onde:
  • $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo.
  • $ \mathbf{\hat{r}} $ é o vetor unitário que aponta de $ d\mathbf{l} $ até o ponto onde estamos calculando $ \mathbf{B} $.
  • $ r $ é a distância entre $ d\mathbf{l} $ e o ponto.
Vamos aplicar essa lei a cada lado da nossa espira retangular.

Passo 3

Vamos dividir a espira em quatro lados: dois com comprimento $ a $ e dois com comprimento $ b $. Por causa da simetria, podemos calcular o campo gerado por um lado e depois multiplicar pelas quatro contribuições, ajustando conforme necessário.
Primeiro, considere um dos lados de comprimento $ a $. O campo magnético no ponto a uma distância $ x $ do centro será perpendicular ao plano da espira. Para calcular o campo de um lado, precisamos integrar a Lei de Biot-Savart ao longo daquele lado.

Passo 4

Vamos focar em um lado de comprimento $ a $. Colocando o centro da espira na origem, esse lado vai de $ y = -a/2 $ a $ y = a/2 $. A distância do ponto $ (0, y, 0) $ até o ponto no eixo de simetria $ (0, 0, x) $ é $ r = \sqrt{y^2 + x^2} $.
Agora, o elemento de corrente $ d\mathbf{l} $ está na direção $ \mathbf{\hat{y}} $, e o vetor $ \mathbf{\hat{r}} $ aponta de $ d\mathbf{l} $ até o ponto, na direção $ (-y, 0, x) $. A multiplicação vetorial $ d\mathbf{l} \times \mathbf{\hat{r}} $ nos dá a direção do campo, que será na direção $ \mathbf{\hat{z}} $ devido à simetria.

Passo 5

A contribuição do campo magnético de um lado de comprimento $ a $ é então:
a
Para encontrar o campo total desse lado, integramos de $ y = -a/2 $ a $ y = a/2 $:
dBz = mu04pi I dy cdot x(y^2 + x^2)^3/2
Resolvendo a integral:
y = -a/2
Aplicando os limites:
y = a/2
Simplificando:
Bza = mu0 I x4pi integral-a/2^a/2 dy(y^2 + x^2)^3/2

Passo 6

Simplificando ainda mais a expressão:
Bza = mu0 I a4pi x (a^2/4 + x^2)^1/2 = mu0 I a4pi x raiza^2/4 + x^2
Como temos dois lados de comprimento $ a $, multiplicamos essa contribuição por 2:
a

Passo 7

Agora, fazemos o mesmo para os dois lados de comprimento $ b $. Seguindo o mesmo raciocínio, a contribuição total desses lados será:
b

Passo 8

Finalmente, somamos as contribuições dos lados de comprimento $ a $ e $ b $ para obter o campo magnético total no ponto ao longo do eixo de simetria:
a

Resposta

O campo magnético $ \mathbf{B} $ no ponto ao longo do eixo de simetria a uma distância $ x $ do centro da espira é dado por:
B

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