Numa espira retangular de lados
e
circula uma corrente
. Determine
sobre os pontos do eixo de simetria ortogonal à espira. Dê sua resposta em função da distância
ao centro da espira.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma espira retangular com lados de comprimento $ a $ e $ b $ e uma corrente elétrica $ i $ passando por ela. A missão é descobrir o campo magnético $ \mathbf{B} $ em pontos que estão no eixo de simetria, que é a linha perpendicular ao centro da espira, a uma distância $ x $ do centro. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Magnetostática, especificamente a Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por uma corrente elétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Lei de Biot-Savart. Ela nos diz que o campo magnético $ d\mathbf{B} $ gerado por um elemento de corrente $ I d\mathbf{l} $ em um ponto no espaço é dado por:
Onde:
- $ \mu_0 $ é a permeabilidade do vácuo.
- $ \mathbf{\hat{r}} $ é o vetor unitário que aponta de $ d\mathbf{l} $ até o ponto onde estamos calculando $ \mathbf{B} $.
- $ r $ é a distância entre $ d\mathbf{l} $ e o ponto.
Vamos aplicar essa lei a cada lado da nossa espira retangular.
Passo 3
Vamos dividir a espira em quatro lados: dois com comprimento $ a $ e dois com comprimento $ b $. Por causa da simetria, podemos calcular o campo gerado por um lado e depois multiplicar pelas quatro contribuições, ajustando conforme necessário.
Primeiro, considere um dos lados de comprimento $ a $. O campo magnético no ponto a uma distância $ x $ do centro será perpendicular ao plano da espira. Para calcular o campo de um lado, precisamos integrar a Lei de Biot-Savart ao longo daquele lado.
Passo 4
Vamos focar em um lado de comprimento $ a $. Colocando o centro da espira na origem, esse lado vai de $ y = -a/2 $ a $ y = a/2 $. A distância do ponto $ (0, y, 0) $ até o ponto no eixo de simetria $ (0, 0, x) $ é $ r = \sqrt{y^2 + x^2} $.
Agora, o elemento de corrente $ d\mathbf{l} $ está na direção $ \mathbf{\hat{y}} $, e o vetor $ \mathbf{\hat{r}} $ aponta de $ d\mathbf{l} $ até o ponto, na direção $ (-y, 0, x) $. A multiplicação vetorial $ d\mathbf{l} \times \mathbf{\hat{r}} $ nos dá a direção do campo, que será na direção $ \mathbf{\hat{z}} $ devido à simetria.
Passo 5
A contribuição do campo magnético de um lado de comprimento $ a $ é então:
Para encontrar o campo total desse lado, integramos de $ y = -a/2 $ a $ y = a/2 $:
Resolvendo a integral:
Aplicando os limites:
Simplificando:
Passo 6
Simplificando ainda mais a expressão:
Como temos dois lados de comprimento $ a $, multiplicamos essa contribuição por 2:
Passo 7
Agora, fazemos o mesmo para os dois lados de comprimento $ b $. Seguindo o mesmo raciocínio, a contribuição total desses lados será:
Passo 8
Finalmente, somamos as contribuições dos lados de comprimento $ a $ e $ b $ para obter o campo magnético total no ponto ao longo do eixo de simetria:
Resposta
O campo magnético $ \mathbf{B} $ no ponto ao longo do eixo de simetria a uma distância $ x $ do centro da espira é dado por: