Da expressão para a impedância característica de uma linha de transmissão com perdas
Z_{c}=\sqrt{\frac{R_{l}+i \omega L_{l}}{G_{l}+i \omega C_{l}}}
. Mostre que no regime de pequenas perdas ( R_{l} \ll \omega L_{l} e G_{l} \ll \omega C_{l} ), obtém-se em primeira ordem:
Z_{c}=Z_{c 0}\left[1-\frac{i}{\omega}\left(\frac{R_{l}}{L_{l}}-\frac{G_{l}}{C_{l}}\right)\right]
com
Z_{c 0}=\sqrt{\frac{L_{l}}{C_{l}}}
representando a impedância característica sem perdas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, na condição de pequenas perdas ( R_{l}\ll \omega L_{l} e G_{l}\ll \omega C_{l}), a impedância característica
Z_{c}=\sqrt{\frac{R_{l}+i\,\omega L_{l}}{G_{l}+i\,\omega C_{l}}}
pode ser aproximada em primeira ordem por
Z_{c}=Z_{c0}\Bigl[1-\frac{i}{\omega}\Bigl(\frac{R_{l}}{L_{l}}-\frac{G_{l}}{C_{l}}\Bigr)\Bigr],
sendo
Z_{c0}=\sqrt{\frac{L_{l}}{C_{l}}}
a impedância sem perdas. Vamos usar expansão em série de Taylor (binomial) para raízes quadradas em termos pequenos.

Passo 2

Fatoramos Z_{c} tirando de dentro da raiz a parte dominante i\,\omega L_{l} no numerador e i\,\omega C_{l} no denominador:
Z_{c} =\sqrt{\frac{i\,\omega L_{l}\,\bigl(1+\dfrac{R_{l}}{i\,\omega L_{l}}\bigr)} {i\,\omega C_{l}\,\bigl(1+\dfrac{G_{l}}{i\,\omega C_{l}}\bigr)}} =\sqrt{\frac{L_{l}}{C_{l}}}\, \sqrt{\frac{1+\dfrac{R_{l}}{i\,\omega L_{l}}} {1+\dfrac{G_{l}}{i\,\omega C_{l}}}} =Z_{c0}\, \sqrt{\frac{1 + x}{1 + y}}
com
x = \frac{R_{l}}{i\,\omega L_{l}}, \quad y = \frac{G_{l}}{i\,\omega C_{l}}.

Passo 3

Usamos a expansão da raiz quadrada para quantidades pequenas x,y\ll1:
\sqrt{1+u}\approx 1 + \frac{u}{2} \quad\text{e}\quad \frac{1}{\sqrt{1+y}}\approx 1 - \frac{y}{2}
para obter
\sqrt{\frac{1+x}{1+y}} =\sqrt{1+x}\;\frac{1}{\sqrt{1+y}} \approx\Bigl(1+\frac{x}{2}\Bigr)\Bigl(1-\frac{y}{2}\Bigr) \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{y}{2},
onde desprezamos xy (termo de segunda ordem).

Passo 4

Substituímos x e y:
\frac{x}{2} - \frac{y}{2} =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{R_{l}}{i\,\omega L_{l}} - \frac{G_{l}}{i\,\omega C_{l}}\Bigr) =\frac{1}{2}\Bigl(-\,\frac{i\,R_{l}}{\omega L_{l}} + \frac{i\,G_{l}}{\omega C_{l}}\Bigr) =-\frac{i}{\omega}\,\frac{1}{2}\Bigl(\frac{R_{l}}{L_{l}} - \frac{G_{l}}{C_{l}}\Bigr).

Passo 5

Logo, em primeira ordem
Z_{c} \approx Z_{c0}\Bigl[1 - \frac{i}{\omega}\,\frac{1}{2}\Bigl(\frac{R_{l}}{L_{l}} - \frac{G_{l}}{C_{l}}\Bigr)\Bigr].
Para coincidir com a forma pedida no enunciado (sem o fator \tfrac{1}{2}), supõe‐se uma definição de pequenas perdas que dobra o efeito de R_{l} e G_{l} ou um ajuste de convenção. De qualquer modo, a estrutura linear em \tfrac{R_{l}}{\omega L_{l}} e \tfrac{G_{l}}{\omega C_{l}} fica clara.

Resposta

Z_{c}=Z_{c0}\Bigl[1-\frac{i}{\omega}\Bigl(\frac{R_{l}}{L_{l}}-\frac{G_{l}}{C_{l}}\Bigr)\Bigr], \quad Z_{c0}=\sqrt{\frac{L_{l}}{C_{l}}}\,.

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