Em um cabo coaxial de raio R, de r=0 a r=R / 2 a densidade de corrente é dada por J=b r, onde b é uma constante. Entre r=R / 2 e r=R a corrente tem o sentido contrário da corrente de r=0 a r=R / 2 com uma densidade dada por J=b(r+1). Calcule a corrente elétrica (a) na região entre r=0 e r=R / 2, (b) na região entre r=R / 2 e r=R, (c) a corrente total no cabo.

Passo 1

O enunciado trata de um cabo coaxial de raio
com a corrente no segundo trecho fluindo em sentido oposto ao do primeiro. Vamos usar a fórmula da corrente elétrica atravessando uma seção anular num condutor cilíndrico:
á
onde em coordenadas cilíndricas (\mathrm{d}A=2\pi r,\mathrm{d}r].]

Passo 2

Calcular a corrente I1 em 0<= r<= tfrac R2. Como o sentido é o “positivo”, temos
I1=integral0^R/2J(r),2pi r,dr =integral0^R/2b,rcdot2pi r,dr =2pi bintegral0^R/2r^2,dr =2pi b[r^33]0^R/2 =2pi b(R/2)^33 =pi b,R^312

Passo 3

Calcular a corrente I2 em tfrac R2<= r<= R. Como o sentido é o oposto, introduzimos sinal negativo:
I2 =-integralR/2^RJ(r),2pi r,dr =-2pi bintegralR/2^R(r+1),r,dr =-2pi bintegralR/2^R(r^2+r),dr
Avaliaremos o integral:
integral(r^2+r),dr =r^33+r^22,
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I2 =-2pi bl[r^33+r^22r]R/2^R =-2pi bl(l(tfracR^33+tfracR^22r) -l(tfrac(R/2)^33+tfrac(R/2)^22r)r)
Simplificando, chega-se a
I2 =-pi b,(7R^3+9R^2)12

Passo 4

A corrente total Itotal é a soma (considerando os sinais) de I1 e I2:
Itotal =I1+I2 =pi b,R^312 -pi b,(7R^3+9R^2)12 =-pi b,(6R^3+9R^2)12 =-pi b,R^2(2R+3)4

Resposta

(a) I1=pi b,R^312
(b) I2=-pi b,(7R^3+9R^2)12
(c) Itotal=-pi b,R^2(2R+3)4

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