Um cabo coaxial simples consiste em um cilindro condutor infinito, maciço, de raio a, carregado com uma densidade linear de carga \lambda e uma casca cilíndrica condutora, também infinita e coaxial ao cilindro, de raio b>a e espessura desprezível, uniformemente carregada com uma densidade linear de carga -\lambda.
(a) Suas respostas aos itens (a) e (b) do exercício anterior se aplicam neste problema? Explique.
(b) Utilize apropriadamente a lei de Gauss para encontrar o campo eletrostático produzido pelo cabo nas regiões (i) s<a, (ii) a<s<b e (iii) s>b, onde s é a distância medida a partir do eixo
comum. Indique claramente a superfície gaussiana escolhida e apresente todas as etapas e hipóteses pertinentes a este cálculo.
(c) Esboce um gráfico da componente E_{s} do campo como função de s destacando os pontos relevantes.
(d) Qual a densidade superficial de carga nos cilindros de raios a e b ?

Passo 1

O enunciado descreve um cabo coaxial formado por um condutor cilíndrico maciço de raio a com densidade linear de carga \lambda e uma casca cilíndrica condutora de raio b>a com densidade linear de carga -\lambda. Como são condutores infinitos e coaxiais, o campo elétrico só depende de s (distância radial ao eixo) e é radial. Para resolver usaremos a lei de Gauss em superfície cilíndrica coaxial.

Passo 2

Item (a): Sim, as razões de simetria e as respostas gerais aos itens (a) e (b) do exercício anterior (campo radial, dependência só de s, uso de Gauss) aplicam-se aqui, pois temos novamente um sistema cilíndrico infinito com distribuição de carga apenas na direção radial.

Passo 3

Item (b): escolha-se como superfície gaussiana um cilindro coaxial de raio s e comprimento L. A lei de Gauss diz
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}.
(i) Para s<a: dentro do material condutor maciço em equilíbrio eletrostático E=0, pois toda carga está na superfície s=a.
(ii) Para a<s<b: a superfície gaussiana envolve somente a carga linear \lambda L. A área lateral vale 2\pi sL, logo
E(2\pi sL) = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E_s(s) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,s},
direção radial (para fora se \lambda>0).
(iii) Para s>b: a gaussiana envolve \lambda L + (-\lambda)L=0, logo E_s=0.

Passo 4

Item (c): o gráfico de E_s(s) é
  • zero para 0\le s\le a,
  • decai como 1/s no intervalo a<s<b, partindo de infinito em s\to a^+ até \lambda/(2\pi\varepsilon_0 b) em s=b^-,
  • e permanece zero para s\ge b.

Passo 5

Item (d): a densidade superficial de carga em cada cilindro é a carga por unidade de área lateral:
\sigma(a) = \frac{\lambda}{2\pi a}, \qquad \sigma(b) = \frac{-\lambda}{2\pi b}.

Resposta

(a) Sim. As hipóteses de simetria cilíndrica, campo radial e aplicação da lei de Gauss são as mesmas do exercício anterior.
(b)
E_s(s)=\begin{cases} 0, & s<a,\\[6pt] \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\,s}, & a<s<b,\\[6pt] 0, & s>b. \end{cases}
(c) Gráfico de E_s versus s: E_s=0 em s\le a, decaindo como 1/s de s=a a s=b, e E_s=0 para s\ge b.
(d)
\sigma(a)=\frac{\lambda}{2\pi a}, \qquad \sigma(b)=\frac{-\lambda}{2\pi b}.]

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