Um tubo longo retilíneo com seção transversal circular possui um raio que varia ao longo de seu comprimento. Existe um escoamento estacionário no tubo, sem fontes e sem sumidouros. Em um ponto P_{1} no tubo, o raio é r_{1} e o fluxo de massa que passa por P_{1} é uma constante Q_{1}. Em um ponto mais afastado ao longo do tubo está o ponto P_{2}, onde o raio é r_{2}=r_{1} / 3.
(a) O fluxo de massa através de P_{2} é medido e vale Q_{2}, onde Q_{2} / Q_{1} vale
(A) 9 .
(B) 3.
(C) 1.
(D) 1 / 9.
(E) depende das massas específicas do fluido em P_{1} e P_{2}.
(b) A relação entre as velocidades de escoamento, v_{2} / v_{1}, vale
(A) 9 .
(B) 3 .
(C) 1.
(D) 1 / 9.
(E) depende das massas específicas do fluido em P_{1} e P_{2}.

Passo 1

O enunciado trata de um escoamento estacionário sem fontes nem sumidouros num tubo de seção circular cujo raio varia de r_{1} em P_{1} para r_{2}=r_{1}/3 em P_{2}. O que precisamos usar é a equação de continuidade de massa, que em regime estacionário vale
Q_m = \rho\,A\,v = \text{constante},
onde Q_m é o fluxo de massa, \rho a densidade do fluido, A a área da seção e v a velocidade local.

Passo 2

Para o fluxo de massa em P_{1} e em P_{2} temos
Q_{1} = \rho_{1}\,A_{1}\,v_{1}, \qquad Q_{2} = \rho_{2}\,A_{2}\,v_{2}.
Como não há geração nem consumo de massa, Q_{2}=Q_{1}. Portanto
\frac{Q_{2}}{Q_{1}} = 1.

Passo 3

Para a velocidade usamos a mesma equação de continuidade com Q_{2}=Q_{1}:
v_{2} = \frac{Q_{2}}{\rho_{2}\,A_{2}} \quad\text{e}\quad v_{1} = \frac{Q_{1}}{\rho_{1}\,A_{1}}
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\frac{v_{2}}{v_{1}} = \frac{\rho_{1}\,A_{1}}{\rho_{2}\,A_{2}} = \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}\;\frac{\pi r_{1}^{2}}{\pi r_{2}^{2}} = \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}\;\biggl(\frac{r_{1}}{r_{2}}\biggr)^{2} = \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}\times 9.
Sem informação extra sobre as densidades \rho_{1} e \rho_{2}, não podemos fechar o valor numérico de v_{2}/v_{1}; ele depende das densidades em P_{1} e P_{2}.

Resposta

(a) \displaystyle\frac{Q_{2}}{Q_{1}}=1.
(b) \displaystyle\frac{v_{2}}{v_{1}} depende das densidades do fluido em P_{1} e P_{2}.

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