Um cabo elétrico de cobre (1,72 times 10^-8 Omega m), com 1 mm^2, conduz 25 A à 120 V . O cabo é isolado com uma camada de um material com k=0,14 W /(mK). No ambiente externo o ar encontra-se a 18^circ C num processo convectivo com h= 25 W /(m^2 K). Para uma transferência máxima de calor para o ambiente, calcular: a taxa de transferência de calor do cabo para o ambiente;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um cabo de cobre que está conduzindo uma corrente elétrica e está isolado com um material específico. Além disso, o cabo está exposto a condições ambientais como temperatura e um processo convectivo. O conteúdo que vamos utilizar envolve Eletricidade (para calcular a resistência e a potência dissipada) e Transferência de Calor (para determinar a taxa de transferência de calor para o ambiente). Precisamos calcular a taxa de transferência de calor do cabo para o ambiente, considerando tanto a condução através do isolamento quanto a convecção com o ar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a resistência elétrica do cabo. A resistência $ R $ pode ser calculada usando a fórmula:
R
Onde:
  • $ \rho = 1,72 \times 10^{-8} , \Omega \cdot m $ é a resistividade do cobre,
  • $ L $ é o comprimento do cabo,
  • $ A = 1 , mm^{2} = 1 \times 10^{-6} , m^{2} $ é a área da seção transversal.
No entanto, como o comprimento $ L $ não é fornecido, vamos considerar que ele será cancelado na próxima etapa.

Passo 3

Agora, vamos determinar a potência elétrica dissipada no cabo, que é transformada em calor. A potência $ P $ pode ser calculada por:
P
Onde:
  • $ I = 25 , A $ é a corrente elétrica,
  • $ V = 120 , V $ é a tensão.
Substituindo os valores:
P = I cdot V
Então, a potência dissipada pelo cabo é de 3000 W.

Passo 4

Agora, vamos analisar a transferência de calor do cabo para o ambiente. O calor gerado precisa passar pela camada de isolamento (condução) e depois ser transferido para o ar (convecção).
A taxa de transferência de calor $ Q $ é dada por:
Q
Onde:
  • $ \Delta T $ é a diferença de temperatura entre o cabo e o ambiente,
  • $ R_{total} $ é a resistência térmica total.

Passo 5

Primeiro, precisamos calcular a resistência térmica pela condução ($ R_{cond} $) através do isolamento:
Rcond
Onde:
  • $ k = 0,14 , W/(m \cdot K) $ é a condutividade térmica do isolamento,
  • $ d_{cabo} $ é o diâmetro do cabo,
  • $ d_{isolamento} $ é o diâmetro total com o isolamento,
  • $ L $ é o comprimento do cabo.
Como não temos os diâmetros ou o comprimento, vamos simplificar considerando que $ R_{cond} $ e $ R_{conv} $ sejam conhecidas ou que $ R_{total} $ seja ajustado para o cálculo.

Passo 6

A resistência térmica pela convecção ($ R_{conv} $) é dada por:
Rconv
Onde:
  • $ h = 25 , W/(m^{2} \cdot K) $ é o coeficiente de transferência de calor por convecção,
  • $ A $ é a área superficial do cabo.
Novamente, sem os valores de diâmetro e comprimento, vamos considerar que $ R_{total} $ seja suficientemente pequeno para que a taxa de transferência de calor seja igual à potência dissipada.

Passo 7

Assumindo que a resistência térmica total permita que todo o calor gerado seja transferido para o ambiente, podemos considerar que a taxa de transferência de calor $ Q $ é igual à potência dissipada $ P $:
Q

Resposta

A taxa de transferência de calor do cabo para o ambiente é de 3000 W.

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