Um amortecedor a gás na suspensão de um automóvel comporta-se como um dispositivo pistão-cilindro. Num instante em que o pistão esta L=0,15 m afastado da extremidade fechada do cilindro, a massa especifica do gás é uniforme em rho=19,2 kg / m^3 e o pistão começa a mover-se, afastando-se da extremidade fechada do cilindro, com V=13,5 m / s.
O movimento do gás é unidimensional e proporcional à distância em relação a extremidade fechada; varia linearmente de zero, na extremidade, a u=V no pistão.
Avalie a taxa de variação da massa especifica do gás nesse instante. Obtenha uma expressão para massa especifica media como uma função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um exercício sobre amortecedores a gás usados na suspensão de um carro. O assunto envolve dinâmica dos fluidos, especificamente a conservação de massa em um sistema pistão-cilindro. O que precisamos fazer é calcular como a densidade do gás muda com o tempo quando o pistão começa a se mover, e também encontrar uma expressão para a densidade média do gás em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento do pistão. O pistão está a uma distância $ L = 0,15 $ metros da extremidade fechada do cilindro e começa a se mover para fora com uma velocidade $ V = 13,5 , m/s $. O gás dentro do cilindro se move de maneira unidimensional, ou seja, só para frente e para trás, e a velocidade do gás varia linearmente de 0 na extremidade fechada até $ V $ no pistão. Isso significa que a velocidade em qualquer ponto $ x $ dentro do cilindro pode ser expressa como:
L = 0,15

Passo 3

Agora, vamos usar a equação da continuidade para conservação de massa, que é uma ferramenta fundamental na dinâmica dos fluidos. A equação da continuidade em uma dimensão é:
partial rhopartial t + partial (rho u)partial x = 0
Aqui, $ \rho $ é a densidade do gás e $ u $ é a velocidade do gás em função de $ x $.

Passo 4

Nosso objetivo é encontrar a taxa de variação da densidade $ \frac{\partial \rho}{\partial t} $ quando o pistão começa a se mover. Vamos substituir $ u(x) $ na equação da continuidade:
partial rhopartial t
Explicando aqui: como a velocidade $ u $ depende de $ x $, precisamos derivar $ \rho \cdot u $ em relação a $ x $.

Passo 5

Calculando a derivada:
partialpartial x ( rho cdot VL cdot x ) = VL cdot ( rho + x cdot partial rhopartial x )
Mas, como a densidade $ \rho $ é inicialmente uniforme e estamos avaliando no instante em que o pistão começa a se mover, a variação espacial de $ \rho $ é nula ($ \frac{\partial \rho}{\partial x} = 0 $). Assim, a equação simplifica para:
rho

Passo 6

Agora, vamos isolar $ \frac{\partial \rho}{\partial t} $:
partial rhopartial t
Isso nos dá a taxa de variação da densidade no instante inicial.

Passo 7

Para encontrar a densidade média $ \rho_{média}(t) $ como função do tempo, podemos resolver a equação diferencial:
rhomédia(t)
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, cuja solução geral é:
d rhodt = - VL cdot rho
Onde $ \rho_0 $ é a densidade inicial do gás.

Resposta

A taxa de variação da densidade do gás no instante considerado é $ \frac{d \rho}{dt} = - \frac{V}{L} \cdot \rho $. A densidade média do gás em função do tempo é dada por:
d rhodt = - VL cdot rho é

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