O volume ocupado por uma massa de mercúrio em função da temperatura ( ^circ C) é definido pela seguinte equação:
V(T)=V(0)[1+(0,18182+0,0078 times 10^-3 T) times 10^-3 T].
Sabendo-se que a densidade do mercúrio a 20^circ C é SG=13,546, calcular: a mudança na altura da coluna que seria observada se todo o mercúrio fosse aquecido num recipiente cilíndrico com base horizontal e diâmetro interno de 5in.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre como o volume do mercúrio muda com a temperatura. A gente tem uma equação que relaciona o volume do mercúrio com a temperatura ( V(T)) e sabe a densidade dele a 20^circ C, que é SG = 13,546. Precisamos calcular quanto a altura da coluna de mercúrio vai mudar se todo o mercúrio for aquecido em um recipiente cilíndrico com diâmetro interno de 5 polegadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dilatação térmica e geometria de cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que nos dá o volume do mercúrio em função da temperatura:
V(T) = V(0) [1 + (0,18182 + 0,0078 times 10^-3 T) times 10^-3 T]
Aqui, V(0) é o volume inicial a 0^circ C e V(T) é o volume a uma temperatura T. Essa equação nos mostra como o volume do mercúrio aumenta com a temperatura devido à dilatação térmica.

Passo 3

Vamos calcular a variação do volume ( De) quando o mercúrio é aquecido. A variação do volume é dada por:
De
Substituindo a equação de V(T):
De
Simplificando:
De

Passo 4

Agora, vamos relacionar essa variação de volume com a mudança na altura da coluna de mercúrio no recipiente cilíndrico. A fórmula do volume de um cilindro é:
V = pi r^2 h
Onde r é o raio e h é a altura. A mudança de volume De causará uma mudança na altura De:
De
Então, podemos resolver para De:
De

Passo 5

Vamos agora calcular os valores numéricos. Primeiro, convertemos o diâmetro de 5 polegadas para raio em pés ou metros, mas para simplificar, vamos manter em polegadas e usar a fórmula diretamente.
Assumindo uma determinada temperatura T (como o problema não especifica T, vamos considerar uma variação específica, por exemplo, T = 20^circ C):
De
Calculando os valores:
De
Agora, substituindo na fórmula da altura:
De
Supondo que V(0) seja conhecido, podemos calcular De. Porém, como não temos V(0), a resposta final será em termos de V(0):

Resposta

A mudança na altura da coluna de mercúrio é igual a $\frac{V(0) \times 0,00363952}{19,63495} $ polegadas, onde V(0) times 0,0036395219,63495 é o volume inicial do mercúrio a V(0).

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