O volume ocupado por uma massa de mercúrio em função da temperatura
é definido pela seguinte equação:
.
Sabendo-se que a densidade do mercúrio a
é
, calcular: a mudança na altura da coluna que seria observada se todo o mercúrio fosse aquecido num recipiente cilíndrico com base horizontal e diâmetro interno de 5in.
Sabendo-se que a densidade do mercúrio a
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre como o volume do mercúrio muda com a temperatura. A gente tem uma equação que relaciona o volume do mercúrio com a temperatura (
) e sabe a densidade dele a
, que é
. Precisamos calcular quanto a altura da coluna de mercúrio vai mudar se todo o mercúrio for aquecido em um recipiente cilíndrico com diâmetro interno de 5 polegadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de dilatação térmica e geometria de cilindros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que nos dá o volume do mercúrio em função da temperatura:
Aqui,
é o volume inicial a
e
é o volume a uma temperatura
. Essa equação nos mostra como o volume do mercúrio aumenta com a temperatura devido à dilatação térmica.
Passo 3
Vamos calcular a variação do volume (
) quando o mercúrio é aquecido. A variação do volume é dada por:
Substituindo a equação de
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos relacionar essa variação de volume com a mudança na altura da coluna de mercúrio no recipiente cilíndrico. A fórmula do volume de um cilindro é:
Onde
é o raio e
é a altura. A mudança de volume
causará uma mudança na altura
:
Então, podemos resolver para
:
Passo 5
Vamos agora calcular os valores numéricos. Primeiro, convertemos o diâmetro de 5 polegadas para raio em pés ou metros, mas para simplificar, vamos manter em polegadas e usar a fórmula diretamente.
Assumindo uma determinada temperatura
(como o problema não especifica
, vamos considerar uma variação específica, por exemplo,
):
Calculando os valores:
Agora, substituindo na fórmula da altura:
Supondo que
seja conhecido, podemos calcular
. Porém, como não temos
, a resposta final será em termos de
:
Resposta
A mudança na altura da coluna de mercúrio é igual a $\frac{V(0) \times 0,00363952}{19,63495} $ polegadas, onde
é o volume inicial do mercúrio a
.