O cabo do elevador de 17.800 N da Fig. 8-54 arrebenta quando o elevador se encontra parado no primeiro andar, onde o seu piso está a uma distância d=3,7 m da mola amortecedora, cuja constante de mola é k=44.500 N / m. Um freio de segurança entra automaticamente em ação, aplicando aos trilhos laterais uma força de atrito constante de 4.450 N . (a) Calcule a velocidade do elevador no momento em que se choca com a mola. (b) Calcule a distância adicional x que o elevador percorre até parar. (c) Calcule a distância a que o elevador é arremessado para cima pela força da mola. (d) Usando a lei da conservação de energia, calcule aproximadamente a distância total percorrida pelo elevador até parar. Por que a resposta não é exata?

Passo 1

O enunciado dá um elevador cujo cabo suporta o peso W=17\,800 N, que se solta do repouso a d=3{,}7 m acima de uma mola de constante k=44\,500 N/m. Um freio joga uma força de atrito constante F_{\rm atr}=4\,450 N. Precisamos aplicar conservação de energia incluindo trabalho de força não conservativa para achar:
– (a) velocidade ao atingir a mola,
– (b) compressão máxima x,
– (c) quanto sobe devido à mola,
– (d) distância total aproximada até parar e discutir por que não é exata.

Passo 2

Calculamos a massa do elevador via
m = \frac{W}{g} = \frac{17\,800}{9{,}8}\approx1\,816{,}3\\ {\rm kg}.

Passo 3

Para (a), entre o repouso e o choque com a mola, a energia cinética ganha‐se do peso e perde‐se pelo atrito. Pelo teorema energia–trabalho:
K = W_{\rm grav} + W_{\rm atrito} \quad\Longrightarrow\quad \tfrac12 m v^2 = m g\,d - F_{\rm atr}\,d.
Logo
v = \sqrt{\frac{2\,(m g - F_{\rm atr})\,d}{m}} =\sqrt{2\bigl(g - \tfrac{F_{\rm atr}}m\bigr)d} \approx \sqrt{2\,(9{,}8 - 2{,}45)\,3{,}7} \approx7{,}38\\ {\rm m/s}.

Passo 4

Para (b), da chegada à mola até a parada máxima, usamos novamente energia:
\underbrace{\tfrac12 m v^2}_{\text{ciência no choque}} + \underbrace{m g\,x}_{\text{trabalho peso}} - \underbrace{F_{\rm atr}\,x}_{\text{trabalho atrito}} = \underbrace{\tfrac12 k\,x^2}_{\text{energia na mola}}.ê
Reescrevendo,
\tfrac12 k\,x^2 - (m g - F_{\rm atr})\,x - \tfrac12 m v^2 = 0.
A solução positiva é
x = \frac{(m g - F_{\rm atr}) + \sqrt{(m g - F_{\rm atr})^2 +2k\,\bigl(\tfrac12 m v^2\bigr)}}{k} \approx1{,}82\\ \rm m.

Passo 5

Para (c), a mola comprimida arremessa o elevador para cima; a energia elástica sobra faz trabalho contra peso e atrito até anulá-la:
\tfrac12 k\,x^2 - (m g + F_{\rm atr})\,y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{\tfrac12 k\,x^2}{m g + F_{\rm atr}} \approx \frac{0.5\cdot44\,500\cdot(1{,}82)^2}{17\,800+4\,450} \approx3{,}30\\ \rm m.

Passo 6

Para (d), a distância total aproximada percorrida até parar é a soma dos três trechos:
d + x + y \approx 3{,}7 + 1{,}82 + 3{,}30 = 8{,}82\\ \rm m.
Não é exato porque na subida o atrito inverte sentido, na descida muda outra vez, e trata‐se de forças não‐conservativas variáveis; nosso cálculo separou segmentos e usou valores médios, logo é uma aproximação.

Resposta

(a) 7{,}38\\ \rm m/s
(b) 1{,}82\\ \rm m
(c) 3{,}30\\ \rm m
(d) 8{,}82\\ \rm m (aprox.), pois o atrito muda de direção e a energia não é perfeitamente conservada.

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