Questão 79: Uma pedra de peso w é jogada verticalmente para cima com velocidade inicial v0. Se uma força constante f devido à resistência do ar age sobre a pedra durante todo o percurso, (a) mostre que a altura máxima atingida pela pedra é dada por \mathrm{h}=\mathrm{v}^{2} 0 / 2 \mathrm{~g}(1+\mathrm{f} / \mathrm{p}), (b) Mostre que a velocidade da pedra ao chegar ao solo é dada por \mathrm{v}=\mathrm{v} 0(\mathrm{p}-\mathrm{f} / \mathrm{p}+\mathrm{f})^{1 / 2}.

Passo 1

O enunciado trata do movimento vertical de uma pedra de peso p (onde p=mg) lançada para cima com velocidade inicial v_{0}, sofrendo sempre uma força de resistência do ar constante de módulo f. O que precisamos usar é a segunda lei de Newton para movimentos unidimensionais com aceleração constante m\,a = F_{\text{res}} e as fórmulas de cinemática (equação de Torricelli) tanto na subida quanto na descida.

Passo 2

Subida: a força resultante sobre a pedra é F = -p - f, de modo que a aceleração é
a = \frac{F}{m} = -\frac{p+f}{m}.
Como a é constante, aplicamos a equação de Torricelli relacionando velocidades e deslocamento vertical h:
0 = v_{0}^{2} + 2\,a\,h.
Substituindo a:
0 = v_{0}^{2} - 2\,\frac{p+f}{m}\,h \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{m\,v_{0}^{2}}{2\,(p+f)}.
Usando m = p/g, obtém-se
h = \frac{(p/g)\,v_{0}^{2}}{2\,(p+f)} = \frac{v_{0}^{2}}{2\,g\,(1 + f/p)}.

Passo 3

Descida: no instante de cair, a velocidade inicial é zero e a força resultante agora aponta para baixo, F = p - f, gerando aceleração
a' = \frac{p-f}{m}.
Cai-se de repouso através de h, de modo que
v^{2} = 0^{2} + 2\,a'\,h = 2\,\frac{p-f}{m}\;h.
Substituindo o valor de h do passo anterior:
v^{2} = 2\,\frac{p-f}{m} \;\frac{m\,v_{0}^{2}}{2\,(p+f)} = v_{0}^{2}\,\frac{p-f}{p+f} \quad\Longrightarrow\quad v = v_{0}\,\sqrt{\frac{p-f}{p+f}}.

Resposta

\boxed{ h = \frac{v_{0}^{2}}{2\,g\,\bigl(1 + \tfrac{f}{p}\bigr)} \quad\text{e}\quad v = v_{0}\,\sqrt{\frac{p-f}{p+f}} }.

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