Questão 84: Enquanto um automóvel de 1.710 kg está se movendo com uma velocidade constante de 15,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, o motor desenvolve uma potência de 16,0 \mathrm{~kW} para compensar o atrito, a resistência do ar etc. (a) Qual é a força total efetiva que se opõe ao movimento do carro? (b) Que potência o motor deve desenvolver para que o carro suba uma rampa de 8 \% ( 8,00 \mathrm{~m} de deslocamento vertical para cada 100 m de deslocamento horizontal) a 15,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ? (c) O motor do carro é desligado e ele desce uma rampa com uma velocidade constante de 15,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual a inclinação da rampa, expressa da mesma forma que no item (b)?

Passo 1

O enunciado fala de um carro de massa m=1710\\ \mathrm{kg} que se move a velocidade constante v=15{,}0\\ \mathrm{m/s}. O motor fornece potência para vencer a resistência (atrito, ar etc.) e, em alguns itens, para vencer também a componente do peso em rampas. Para resolver a questão vamos usar a relação entre potência, força e velocidade
P = F\,v
e, quando houver rampa com ângulo \theta, a componente do peso paralela ao plano
F_{\text{grav}}=m\,g\,\sin\theta,
sabendo que a inclinação percentual é dada por \tan\theta vezes 100.

Passo 2

(a) Para movimento a velocidade constante sem rampa, toda a potência do motor compensa a força resistente F_{\text{res}}. Logo
F_{\text{res}} = \frac{P}{v}.
Substituindo P=16{,}0\\ \mathrm{kW}=1{,}60\times10^4\\ \mathrm{W} e v=15{,}0\\ \mathrm{m/s},
F_{\text{res}} = \frac{1{,}60\times10^4}{15{,}0} =1{,}07\times10^3\\ \mathrm{N}.

Passo 3

(b) Numa rampa de 8\%, temos \tan\theta=0{,}08. Para ângulos pequenos, podemos aproximar \sin\theta\approx\tan\theta. A componente do peso a vencer é
F_{\text{grav}} = m\,g\,\sin\theta \approx m\,g\,(0{,}08).
Com m=1710\\ \mathrm{kg} e g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^2},
F_{\text{grav}} \approx 1710\cdot9{,}80\cdot0{,}08 =1{,}34\times10^3\\ \mathrm{N}.
A força total que o motor deve vencer é
F_{\text{tot}} = F_{\text{res}} + F_{\text{grav}} =1{,}07\times10^3 + 1{,}34\times10^3 =2{,}41\times10^3\\ \mathrm{N}.
Então a potência necessária é
P_{\text{subida}} = F_{\text{tot}}\,v =2{,}41\times10^3 \times 15{,}0 =3{,}61\times10^4\\ \mathrm{W} \approx36{,}1\\ \mathrm{kW}.

Passo 4

(c) Descendo a rampa a 15{,}0\\ \mathrm{m/s} com velocidade constante e motor desligado, a única força que puxa para baixo é F_{\text{grav}}=m\,g\,\sin\theta e ela equilibra a resistência F_{\text{res}}. Assim
m\,g\,\sin\theta = F_{\text{res}} \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta = \frac{F_{\text{res}}}{m\,g}.
Como \theta é pequeno, \tan\theta\approx\sin\theta, e a inclinação percentual é
100\tan\theta \approx 100\frac{F_{\text{res}}}{m\,g} =100\frac{1{,}07\times10^3}{1710\cdot9{,}80} \approx6{,}4\%.

Resposta

(a) 1{,}07\times10^3\\ \mathrm{N}.
(b) 3{,}61\times10^4\\ \mathrm{W} (aprox. 36{,}1\\ \mathrm{kW}).
(c) Inclinação de aproximadamente 6{,}4\%.

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