Questão 98: Qual a quantidade de massa que deve ser transformada em energia cinética para acelerar uma espaçonave com massa de 1,66 \times 10^{\wedge} 6 \mathrm{~kg} do repouso até um décimo da velocidade da luz? Use a expressão não-relativística para a energia cinética.

Passo 1

O enunciado pede a massa \Delta m que deve se “destruir” para produzir energia cinética suficiente para acelerar uma espaçonave de massa m=1,66\times10^6\\ \mathrm{kg} do repouso até v=\tfrac{1}{10}c. O conteúdo envolve a expressão clássica da energia cinética e a equivalência massa–energia de Einstein.

Passo 2

A energia cinética não‐relativística é dada por
E_\text{c}=\tfrac12\,m\,v^2.
Substituindo v=\tfrac{1}{10}c temos
E_\text{c} =\tfrac12\,m\Bigl(\tfrac{c}{10}\Bigr)^2 =\tfrac12\,m\,\frac{c^2}{100} =\frac{m\,c^2}{200}.

Passo 3

Pela equivalência massa–energia, a massa convertida \Delta m satisfaz
E_\text{c}=\Delta m\,c^2.
Logo
\Delta m=\frac{E_\text{c}}{c^2} =\frac{m\,c^2/200}{c^2} =\frac{m}{200}.

Passo 4

Basta agora substituir m=1,66\times10^6\\ \mathrm{kg}:
\Delta m =\frac{1,66\times10^6}{200} =8,3\times10^3\\ \mathrm{kg}.

Resposta

\Delta m=8{,}3\times10^3\\ \mathrm{kg}.

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