Um cabo muito longo é constituído de um cilindro maciço de raio R, envolvido coaxialmente por uma casca cilíndrica de raio interno R1=2 R e raio externo R2=3 R. Estes dois elementos são percorridos por correntes elétricas de mesmo sentido, cujas densidades possuem como módulos j0 constante no cilindro interno, enquanto que na casca cilíndrica temos que j(s)=j1(R / s), sendo j1 constante e positiva e s a distância ao eixo de simetria do cilindro.
a) [1 , 2 ponto] Obtenha a expressão para o campo magnético B(s) nas duas regiões definidas por: (i) 0 e (ii) R.
b) [1,2 ponto] Obtenha a expressão para o campo magnético B(s) nas duas regiões definidas por: (iii) R1 e (iv) s>R2.
c) [0,8 ponto] Obtenha a relação que deve existir entre j0 e j1 para que B(s) tenha um valor constante na região interna à casca cilíndrica, ou seja, quando R1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma questão de eletromagnetismo que envolve calcular o campo magnético em diferentes regiões de um cabo longo. O cabo é composto por um cilindro sólido de raio e uma casca cilíndrica ao redor com raios internos e externo . Ambos conduzem correntes elétricas no mesmo sentido, mas com densidades de corrente diferentes. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente elétrica que passa por esse caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a região onde oint B cdot dl = mu0 Ienc , ou seja, dentro do cilindro sólido. Nesse caso, a densidade de corrente é constante e igual a B(s) cdot 2pi s = mu0 Ienc . A Lei de Ampère nos diz que:
Ienc = j0 cdot pi s^2
Como o campo magnético B(s) cdot 2pi s = mu0 j0 pi s^2 B(s) = mu0 j0 s2 é simétrico e paralelo à direção do circuito de Ampère, podemos simplificar a integral para:
Agora, precisamos encontrar a corrente dentro do raio :
Substituindo na equação:

Passo 3

Agora, vamos para a região Ienc = j0 cdot pi R^2 (ou seja, B(s) cdot 2pi s = mu0 j0 pi R^2 B(s) = mu0 j0 R^22s ). Nessa faixa, só existe o cilindro interno com corrente . A corrente total no interior de ainda é a mesma do cilindro interno, pois a casca começa em . Portanto:
Aplicando a Lei de Ampère:

Passo 4

Agora, para a parte b), vamos considerar a região Icasca = integralR1^s j1 ( Rs' ) 2pi s' ds' = 2pi j1 R integralR1^s ds' = 2pi j1 R (s - R1) (ou seja, Ienc = j0 pi R^2 + 2pi j1 R (s - R1) ). Aqui, além do cilindro interno, a casca também contribui para a corrente total. A densidade de corrente na casca é B(s) cdot 2pi s = mu0 ( j0 pi R^2 + 2pi j1 R (s - 2R) ) B(s) = mu02s ( j0 R^2 + 2 j1 R (s - 2R) ) B(s) = mu02s (j0 R^2 + 2 j1 R s - 4 j1 R^2) B(s) = mu02s (2 j1 R s + j0 R^2 - 4 j1 R^2) B(s) = mu0 j1 R + mu0 (j0 R^2 - 4 j1 R^2)2s .
Primeiro, calculamos a corrente na casca até o raio :
A corrente total encerrada é a do cilindro interno mais a da casca:
Aplicando a Lei de Ampère:

Passo 5

Finalmente, para a região Ienc = j0 pi R^2 + 2pi j1 R (R2 - R1) = j0 pi R^2 + 2pi j1 R (3R - 2R) = j0 pi R^2 + 2pi j1 R^2 (ou seja, B(s) cdot 2pi s = mu0 (j0 R^2 + 2 j1 R^2) B(s) = mu0 (j0 R^2 + 2 j1 R^2)2s B(s) = mu0 R^2 (j0 + 2 j1)2s ), toda a corrente no cilindro interno e na casca está encerrada. Calculamos a corrente total:
Aplicando a Lei de Ampère:

Resposta

As expressões para o campo magnético (i) Para 0 < s < R: B(s) = mu0 j0 s2 são:
a)
(ii) Para R < s < R1: B(s) = mu0 j0 R^22s
(iii) Para R1 < s < R2: B(s) = mu0 j1 R + mu0 (j0 R^2 - 4 j1 R^2)2s
b)
(iv) Para s > R2: B(s) = mu0 R^2 (j0 + 2 j1)2s

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