Um cabo muito longo é constituído de um cilindro maciço de raio
, envolvido coaxialmente por uma casca cilíndrica de raio interno
e raio externo
. Estes dois elementos são percorridos por correntes elétricas de mesmo sentido, cujas densidades possuem como módulos
constante no cilindro interno, enquanto que na casca cilíndrica temos que
, sendo
constante e positiva e
a distância ao eixo de simetria do cilindro.
a)
ponto] Obtenha a expressão para o campo magnético
nas duas regiões definidas por: (i)
e (ii)
.
b)
ponto] Obtenha a expressão para o campo magnético
nas duas regiões definidas por: (iii)
e (iv)
.
c)
ponto] Obtenha a relação que deve existir entre
e
para que
tenha um valor constante na região interna à casca cilíndrica, ou seja, quando
.
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma questão de eletromagnetismo que envolve calcular o campo magnético
em diferentes regiões de um cabo longo. O cabo é composto por um cilindro sólido de raio
e uma casca cilíndrica ao redor com raios internos
e externo
. Ambos conduzem correntes elétricas no mesmo sentido, mas com densidades de corrente diferentes. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético ao redor de um caminho fechado com a corrente elétrica que passa por esse caminho.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a região onde
, ou seja, dentro do cilindro sólido. Nesse caso, a densidade de corrente é constante e igual a
. A Lei de Ampère nos diz que:
Como o campo magnético
é simétrico e paralelo à direção do circuito de Ampère, podemos simplificar a integral para:
Agora, precisamos encontrar a corrente dentro do raio
:
Substituindo na equação:
Passo 3
Agora, vamos para a região
(ou seja,
). Nessa faixa, só existe o cilindro interno com corrente
. A corrente total no interior de
ainda é a mesma do cilindro interno, pois a casca começa em
. Portanto:
Aplicando a Lei de Ampère:
Passo 4
Agora, para a parte b), vamos considerar a região
(ou seja,
). Aqui, além do cilindro interno, a casca também contribui para a corrente total. A densidade de corrente na casca é
.
Primeiro, calculamos a corrente na casca até o raio
:
A corrente total encerrada é a do cilindro interno mais a da casca:
Aplicando a Lei de Ampère:
Passo 5
Finalmente, para a região
(ou seja,
), toda a corrente no cilindro interno e na casca está encerrada. Calculamos a corrente total:
Aplicando a Lei de Ampère:
Resposta
As expressões para o campo magnético
são:
a)
b)