O cabo de um manômetro digital é imerso no escoamento de óleo ao longo de um tubo horizontal. Sabe-se que a velocidade atingida pelo cabo é de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e a queda de pressão do escoamento ao longo do tubo é de 5 \mathrm{~Pa} / \mathrm{m}. Pede-se: (a) o tipo de descrição do escoamento, e justificar, e (b) a taxa de variação da pressão medida pelo manômetro. Supor regime permanente.
R : (a) sem resposta; (b) -10 \mathrm{~Pa} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado trata de um cabo de manômetro digital que se move junto com o escoamento de óleo em um tubo horizontal. Sabemos que a velocidade do cabo (e do fluido) é 2\\ \mathrm{m/s} e que existe uma queda de pressão de 5\\ \mathrm{Pa/m} ao longo do tubo. Em regime permanente, queremos (a) determinar se a descrição do escoamento é Euleriana ou Lagrangiana e (b) calcular a taxa de variação no tempo da pressão medida pelo cabo. Para isso precisamos usar o conceito de derivada material (substantiva) de uma grandeza de campo.

Passo 2

Como o cabo se move junto com o fluido e registra a pressão ao longo de sua trajetória, estamos seguindo uma “partícula” do escoamento. Essa forma de olhar o escoamento caracteriza a descrição Lagrangiana, pois acompanhamos o ponto de medida em movimento, e não pontos fixos no espaço como na descrição Euleriana.

Passo 3

Em escoamento permanente temos \partial p/\partial t=0. A derivada material de p ao longo da trajetória do cabo é
\frac{Dp}{Dt} \;=\; \frac{\partial p}{\partial t} \;+\; v\,\frac{\partial p}{\partial x}
onde \partial p/\partial x é o gradiente espacial de pressão e v é a velocidade do cabo em relação ao tubo.

Passo 4

Substituindo \partial p/\partial t=0, v=2\\ \mathrm{m/s} e \partial p/\partial x=-5\\ \mathrm{Pa/m} (sinal negativo pois é queda de pressão), obtemos
\frac{Dp}{Dt} =0 + \bigl(2\\ \mathrm{m/s}\bigr)\times\bigl(-5\\ \mathrm{Pa/m}\bigr) =-10\\ \mathrm{Pa/s}.

Resposta

(a) Descrição Lagrangiana, porque o cabo se move com o fluido e mede a pressão ao longo de sua trajetória.
(b) -10\\ \mathrm{Pa/s}.

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