O cabo de um manômetro digital é imerso no escoamento de óleo ao longo de um tubo horizontal. Sabe-se que a velocidade atingida pelo cabo é de
, e a queda de pressão do escoamento ao longo do tubo é de
. Pede-se: (a) o tipo de descrição do escoamento, e justificar, e (b) a taxa de variação da pressão medida pelo manômetro. Supor regime permanente.
R : (a) sem resposta; (b)
.
Passo 1
O enunciado trata de um cabo de manômetro digital que se move junto com o escoamento de óleo em um tubo horizontal. Sabemos que a velocidade do cabo (e do fluido) é
e que existe uma queda de pressão de
ao longo do tubo. Em regime permanente, queremos (a) determinar se a descrição do escoamento é Euleriana ou Lagrangiana e (b) calcular a taxa de variação no tempo da pressão medida pelo cabo. Para isso precisamos usar o conceito de derivada material (substantiva) de uma grandeza de campo.
Passo 2
Como o cabo se move junto com o fluido e registra a pressão ao longo de sua trajetória, estamos seguindo uma “partícula” do escoamento. Essa forma de olhar o escoamento caracteriza a descrição Lagrangiana, pois acompanhamos o ponto de medida em movimento, e não pontos fixos no espaço como na descrição Euleriana.
Passo 3
Em escoamento permanente temos
. A derivada material de
ao longo da trajetória do cabo é
onde
é o gradiente espacial de pressão e
é a velocidade do cabo em relação ao tubo.
Passo 4
Substituindo
,
e
(sinal negativo pois é queda de pressão), obtemos
Resposta
(a) Descrição Lagrangiana, porque o cabo se move com o fluido e mede a pressão ao longo de sua trajetória.
(b) .
(b)