. Um cabo perfeitamente flexível tem comprimento
. Inicialmente o cabo está em repouso, com um comprimento
dele pendendo verticalmente para fora de uma mesa. Desprezando atrito, determine o comprimento de cabo pendendo para fora da mesa depois de um tempo
. Assuma que as seções do cabo permanecem retas durante o movimento.
resposta:
Passo 1
O problema descreve um cabo flexível, de comprimento total
e massa total
, apoiado sem atrito numa mesa, com uma parte inicial de comprimento
pendendo para fora. Precisamos achar a função
que dá o comprimento pendente em função do tempo. O conteúdo aqui é aplicar a segunda lei de Newton a um sistema cuja massa pendente varia conforme
.
Passo 2
Definimos a densidade linear do cabo como
logo a massa do trecho pendente é
Como não há atrito, a única força que puxa o cabo é o peso desse trecho pendente,
Passo 3
Aplicando a segunda lei de Newton ao cabo inteiro (massa
) com aceleração
, temos
Cancelando
e isolando
, obtemos a EDO
Passo 4
A equação
é de coeficientes constantes. A equação característica é
, cujas raízes são
. A solução geral é
Impondo as condições iniciais
e
dá
Portanto