. Um cabo perfeitamente flexível tem comprimento L. Inicialmente o cabo está em repouso, com um comprimento x_{0} dele pendendo verticalmente para fora de uma mesa. Desprezando atrito, determine o comprimento de cabo pendendo para fora da mesa depois de um tempo t. Assuma que as seções do cabo permanecem retas durante o movimento.
\left(\right. resposta: \left.x(t)=x_{0} \operatorname{cosh} (\sqrt{g / L} t)\right)

Passo 1

O problema descreve um cabo flexível, de comprimento total L e massa total M, apoiado sem atrito numa mesa, com uma parte inicial de comprimento x_{0} pendendo para fora. Precisamos achar a função x(t) que dá o comprimento pendente em função do tempo. O conteúdo aqui é aplicar a segunda lei de Newton a um sistema cuja massa pendente varia conforme x(t).

Passo 2

Definimos a densidade linear do cabo como
\lambda = \frac{M}{L},
logo a massa do trecho pendente é
m_{\rm pend}(t)=\lambda\,x(t)=\frac{M}{L}\,x(t).
Como não há atrito, a única força que puxa o cabo é o peso desse trecho pendente,
F_{\rm net}=m_{\rm pend}(t)\,g=\frac{M}{L}\,x(t)\,g.

Passo 3

Aplicando a segunda lei de Newton ao cabo inteiro (massa M) com aceleração x''(t), temos
M\,x''(t)=F_{\rm net}=\frac{M}{L}\,x(t)\,g.
Cancelando M e isolando x''(t), obtemos a EDO
x''(t)=\frac{g}{L}\,x(t).

Passo 4

A equação
x''-\frac{g}{L}\,x=0
é de coeficientes constantes. A equação característica é r^{2}-(g/L)=0, cujas raízes são r=\pm\sqrt{g/L}. A solução geral é
x(t)=A\,e^{\sqrt{g/L}\,t}+B\,e^{-\sqrt{g/L}\,t}.
Impondo as condições iniciais x(0)=x_{0} e x'(0)=0
A+B=x_{0},\qquad \sqrt{\tfrac{g}{L}}(A-B)=0\;\Longrightarrow\;A=B=\frac{x_{0}}{2}.
Portanto
x(t)=\frac{x_{0}}{2}\Bigl(e^{\sqrt{g/L}\,t}+e^{-\sqrt{g/L}\,t}\Bigr) =x_{0}\operatorname{cosh}\!\bigl(\sqrt{g/L}\;t\bigr).

Resposta

x(t)=x_{0}\,\operatorname{cosh}\!\bigl(\sqrt{\tfrac{g}{L}}\;t\bigr).

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