. Um oscilador harmônico não-amortecido com frequência natural \omega_{0} é submetido a uma força F(t)=a \exp (-b t), onde a e b são constantes. O oscilador inicia o movimento do repouso na origem ( x_{0}=0 ) no tempo t=0. Encontre a solução da equação de movimento a qual satisfaz as condições iniciais especificadas.

Passo 1

Temos o oscilador harmônico não-amortecido descrito pela equação
x''(t) + \omega_{0}^{2}\,x(t) = a\,e^{-b t},
com condições iniciais x(0)=0 e x'(0)=0.
O conteúdo aqui é resolução de equação diferencial linear não-homogênea de 2.º grau, usando primeiro a solução geral da parte homogênea e depois um particular pela técnica dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

A parte homogênea é
x'' + \omega_{0}^{2}x = 0,
cuja solução geral é
x_{h}(t) = C_{1}\cos\bigl(\omega_{0}t\bigr) + C_{2}\sin\bigl(\omega_{0}t\bigr).

Passo 3

Para achar uma solução particular, fazemos o palpite
x_{p}(t) = A\,e^{-b t}.
Calculando derivadas:
x_{p}'' = A\,b^{2}e^{-b t}, \quad x_{p} + \omega_{0}^{2}x_{p} = A\,(b^{2}+\omega_{0}^{2})e^{-b t}.
Igualando ao termo-força a\,e^{-b t}, vem
A\,(b^{2}+\omega_{0}^{2}) = a \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{a}{b^{2} + \omega_{0}^{2}}.
Logo
x_{p}(t) = \frac{a}{b^{2} + \omega_{0}^{2}}\,e^{-b t}.

Passo 4

A solução geral é
x(t) = x_{h}(t) + x_{p}(t) = C_{1}\cos(\omega_{0}t) + C_{2}\sin(\omega_{0}t) + \frac{a}{b^{2} + \omega_{0}^{2}}\,e^{-b t}.
Agora aplicamos as condições iniciais. Em t=0:
x(0)=0 \;\Longrightarrow\; C_{1} + \frac{a}{b^{2} + \omega_{0}^{2}} = 0 \;\Longrightarrow\; C_{1} = -\frac{a}{b^{2} + \omega_{0}^{2}}.
Para x'(t) temos
x'(t) = -C_{1}\,\omega_{0}\sin(\omega_{0}t) + C_{2}\,\omega_{0}\cos(\omega_{0}t) - \frac{a\,b}{b^{2} + \omega_{0}^{2}}\,e^{-b t}.
Em t=0, x'(0)=0
0 = C_{2}\,\omega_{0} - \frac{a\,b}{b^{2} + \omega_{0}^{2}} \;\Longrightarrow\; C_{2} = \frac{a\,b}{\omega_{0}\,\bigl(b^{2} + \omega_{0}^{2}\bigr)}.

Passo 5

Substituindo C_{1} e C_{2} em x(t) e fatorando a/(b^{2}+\omega_{0}^{2}), obtemos
x(t) = \frac{a}{b^{2}+\omega_{0}^{2}}\Bigl[ -e^{-b t}\!(b^{2}+\omega_{0}^{2})\cos0 + b\,\frac{b^{2}+\omega_{0}^{2}}{\omega_{0}}\sin0 + e^{-b t}\Bigr]
reorganizando:
x(t) = \frac{a}{b^{2}+\omega_{0}^{2}}\Bigl[ e^{-b t} - \cos(\omega_{0}t) + \frac{b}{\omega_{0}}\sin(\omega_{0}t) \Bigr].

Resposta

\boxed{ x(t) = \frac{a}{b^{2}+\omega_{0}^{2}}\Bigl[ e^{-b t} - \cos(\omega_{0}t) + \frac{b}{\omega_{0}}\sin(\omega_{0}t) \Bigr] }.

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