. Um oscilador harmonico criticamente amortecido é submetido á ação de uma força F_{0} \cos (\omega t). Se em t=0, x(0)=x_{0} e v(0)=v_{0}, determinar x(t).

Passo 1

O enunciado dá a equação do oscilador forçado
m\,\ddot x + b\,\dot x + k\,x = F_{0}\cos(\omega t)
com amortecimento crítico, ou seja,
b^{2} = 4\,m\,k,
e condições iniciais x(0)=x_{0}, \dot x(0)=v_{0}.
Para resolver, vamos montar a solução geral como soma da parte homogênea (amortecimento crítico) e de uma particular para a força senoidal.

Passo 2

A equação homogênea é
m\,\ddot x + b\,\dot x + k\,x = 0\,.
Dividindo por m e usando b=2m\omega_{0} com \omega_{0}=\sqrt{k/m}, o polinômio característico é
r^{2} + 2\omega_{0}r + \omega_{0}^{2} = 0
que tem raiz dupla r=-\omega_{0}. Logo
x_{h}(t) = (C_{1} + C_{2}\,t)\,e^{-\omega_{0}t}\,.

Passo 3

Para achar uma solução particular x_{p}(t) ao forçamento F_{0}\cos(\omega t), usamos o ansatz
x_{p}(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\,.
Derivando e substituindo na equação original gera o sistema
\begin{cases} (-m\omega^{2}+k)\,A \;-\; b\omega\,B = F_{0},\\\ (-m\omega^{2}+k)\,B \;+\; b\omega\,A = 0. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo esse sistema em A e B obtemos
A=\frac{(k-m\omega^{2})\,F_{0}}{(k-m\omega^{2})^{2}+(b\omega)^{2}}, \quad B=\frac{b\omega\,F_{0}}{(k-m\omega^{2})^{2}+(b\omega)^{2}}.
Usando k-m\omega^{2}=m(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}) e b=2m\omega_{0}, o denominador vira
m^{2}\bigl[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\omega_{0}^{2}\omega^{2}\bigr] = m^{2}(\omega_{0}^{2}+\omega^{2})^{2}.
Então, em forma simplificada,
A=\frac{F_{0}/m}{(\omega_{0}^{2}+\omega^{2})^{2}}\,(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}), \quad B=\frac{2F_{0}/m}{(\omega_{0}^{2}+\omega^{2})^{2}}\,\omega_{0}\omega.

Passo 5

A solução geral é
x(t) = (C_{1}+C_{2}\,t)e^{-\omega_{0}t} \;+\;A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t).
Impondo x(0)=x_{0} e \dot x(0)=v_{0}:
x(0)=C_{1}+A = x_{0} \;\Longrightarrow\; C_{1}=x_{0}-A,
\dot x(0)=\bigl[C_{2}-\omega_{0}C_{1}\bigr]+B\omega = v_{0} \;\Longrightarrow\; C_{2}=v_{0}+\omega_{0}C_{1}-B\omega.

Resposta

\boxed{ x(t)=\bigl(x_{0}-A +\bigl[v_{0}+\omega_{0}(x_{0}-A)-B\omega\bigr]\,t\bigr)\,e^{-\omega_{0}t} \;+\;A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t), }
com
A=\frac{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})\,F_{0}/m}{(\omega_{0}^{2}+\omega^{2})^{2}}, \quad B=\frac{2\,\omega_{0}\,\omega\,F_{0}/m}{(\omega_{0}^{2}+\omega^{2})^{2}}, \quad \omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}.

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