. Um cabo perfeitamente flexível tem comprimento L. Inicialmente o cabo está em repouso, com um comprimento x_{0} dele pendendo verticalmente para fora de uma mesa. Desprezando atrito, determine o comprimento de cabo pendendo para fora da mesa depois de um tempo t. Assuma que as seções do cabo permanecem retas durante o movimento.
\left(\right. resposta: \left.x(t)=x_{0} \operatorname{cosh} (\sqrt{g / L} t)\right)

Passo 1

O enunciado trata de um cabo perfeitamente flexível de comprimento L que desliza sem atrito sobre a beira de uma mesa, de modo que um comprimento x(t) fica pendendo verticalmente. Queremos achar x(t) sabendo que inicialmente x(0)=x_{0} e que o cabo parte do repouso. Vamos modelar o sistema usando Lagrange (ou energia) para chegar a uma equação diferencial para x(t).

Passo 2

Defina x(t) como o comprimento do cabo pendente e
\dot x = \frac{dx}{dt}
como sua velocidade de descida. A massa linear do cabo é \mu = M/L, logo a massa total é M=\mu L.

Passo 3

Como em cada instante todo o cabo se move com a mesma velocidade \dot x (tanto a parte sobre a mesa quanto a parte pendente), a energia cinética total é
T = \tfrac12 M \dot x^{2} \;=\;\tfrac12\,\mu L\,\dot x^{2}.

Passo 4

A energia potencial gravitacional vem apenas da parte pendente de comprimento x. O centro de massa dessa parte fica a x/2 abaixo da borda, então
V = -\,\mu g\,x\cdot\frac{x}{2} \;=\; -\,\frac{\mu g}{2}\,x^{2}.

Passo 5

Escrevendo a Lagrangiana \mathcal{L}=T-V e aplicando a equação de Euler–Lagrange em x, obtemos
\frac{d}{dt}\bigl(\mu L\,\dot x\bigr)\;-\;\bigl(-\mu g\,x\bigr)\;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad \mu L\,\ddot x \;-\;\mu g\,x \;=\;0,
ou seja
\ddot x \;-\;\frac{g}{L}\,x \;=\;0.

Passo 6

A equação
\ddot x - \frac{g}{L}\,x = 0
é uma EDO linear de coeficientes constantes cuja solução geral é
x(t) = A\,e^{\sqrt{g/L}\,t}\;+\;B\,e^{-\sqrt{g/L}\,t}.

Passo 7

Impondo x(0)=x_{0} e \dot x(0)=0 temos
A + B = x_{0}, \quad A\sqrt{\tfrac{g}{L}} - B\sqrt{\tfrac{g}{L}} = 0 \;\Longrightarrow\; A = B = \frac{x_{0}}{2}.
Logo
x(t) = \frac{x_{0}}{2}\,e^{\sqrt{g/L}\,t} + \frac{x_{0}}{2}\,e^{-\sqrt{g/L}\,t} = x_{0}\operatorname{cosh}\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{g}{L}}\,t\Bigr).

Resposta

x(t) = x_{0}\operatorname{cosh}\bigl(\sqrt{g/L}\,t\bigr)

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