. Um cabo perfeitamente flexível tem comprimento
. Inicialmente o cabo está em repouso, com um comprimento
dele pendendo verticalmente para fora de uma mesa. Desprezando atrito, determine o comprimento de cabo pendendo para fora da mesa depois de um tempo
. Assuma que as seções do cabo permanecem retas durante o movimento.
resposta:
Passo 1
O enunciado trata de um cabo perfeitamente flexível de comprimento
que desliza sem atrito sobre a beira de uma mesa, de modo que um comprimento
fica pendendo verticalmente. Queremos achar
sabendo que inicialmente
e que o cabo parte do repouso. Vamos modelar o sistema usando Lagrange (ou energia) para chegar a uma equação diferencial para
.
Passo 2
Defina
como o comprimento do cabo pendente e
como sua velocidade de descida. A massa linear do cabo é
, logo a massa total é
.
Passo 3
Como em cada instante todo o cabo se move com a mesma velocidade
(tanto a parte sobre a mesa quanto a parte pendente), a energia cinética total é
Passo 4
A energia potencial gravitacional vem apenas da parte pendente de comprimento
. O centro de massa dessa parte fica a
abaixo da borda, então
Passo 5
Escrevendo a Lagrangiana
e aplicando a equação de Euler–Lagrange em
, obtemos
ou seja
Passo 6
A equação
é uma EDO linear de coeficientes constantes cuja solução geral é
Passo 7
Impondo
e
temos
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