Três cargas puntiformes estão dispostas ao longo do eixo horizontal. A carga \mathrm{q}_{1} está na origem, \mathrm{q}_{2} está em \mathrm{x}=2 \mathrm{~m} e \mathrm{q}_{0} está em uma posição x(x>2,0 \mathrm{~m}).
a) Determine a foça total em \mathrm{q}_{0} devido a \mathrm{q}_{1} \mathrm{e} \mathrm{q}_{2}, se \mathrm{q}_{1}=25 \mathrm{nC}, \mathrm{q}_{2}=-10 \mathrm{nC}, \mathrm{q}_{0}=+20 \mathrm{nC} \mathrm{e} \mathrm{x}=3,5 \mathrm{~m}.
b) Determine a expressão para a força elétrica total em \mathrm{q}_{0} devido a \mathrm{q}_{1} \mathrm{e}_{\mathrm{q} 2} ao longo da região 2,0<\mathrm{x}<\infty
c) Usando o resultado anterior, determine os pontos a força é nula e máxima (ou mínima).

Passo 1

O enunciado pede a força total sobre a carga teste q_{0} devida a duas cargas pontuais q_{1} em x=0 e q_{2} em x=2\,\text{m}. O conteúdo é a Lei de Coulomb em uma dimensão. Para resolver precisamos lembrar que a força entre duas cargas é
F = k\,\frac{q_a q_b}{r^2}
com k=8{,}99\times10^{9}\,\mathrm{N\cdot m^2/C^2} e cuidar do sinal para indicar direção ao longo do eixo x.

Passo 2

Vamos chamar de positivo o eixo para a direita. Para uma carga q em x e q_i em x_i, a força sobre q é
F_i = k\,\frac{q\,q_i}{(x - x_i)^2}
com sinal positivo se empurra para a direita e negativo se empurra para a esquerda. No nosso caso, com x>2,
  • a contribuição de q_{1} (em x_1=0) é
F_1 = k\,\frac{q_0\,q_1}{x^2}
que sai com sinal positivo quando q_1 q_0>0.
  • a contribuição de q_{2} (em x_2=2) é
F_2 = k\,\frac{q_0\,q_2}{(x-2)^2}
que pode ser negativa se q_2 tiver sinal oposto a q_0.
A força total será
F(x) = F_1 + F_2 = k\,q_0\!\Bigl(\frac{q_1}{x^2} + \frac{q_2}{(x-2)^2}\Bigr).

Passo 3

Para o item (a), substituímos x=3{,}5\,\text{m}, q_1=25\,\text{nC}=25\times10^{-9}\,\mathrm{C}, q_2=-10\,\text{nC}, q_0=20\,\text{nC}. Primeiro as magnitudes:
F_1 = k\,\frac{(20\times10^{-9})(25\times10^{-9})}{(3{,}5)^2} \approx 3{,}67\times10^{-7}\,\mathrm{N} \quad(\text{direita}),
F_2 = k\,\frac{(20\times10^{-9})(-10\times10^{-9})}{(3{,}5-2)^2} \approx -8{,}00\times10^{-7}\,\mathrm{N} \quad(\text{esquerda}).
Somando,
F_{\text{total}} = 3{,}67\times10^{-7} - 8{,}00\times10^{-7} = -4{,}33\times10^{-7}\,\mathrm{N}.
O sinal negativo indica força para a esquerda.

Passo 4

No item (b) já determinamos a expressão geral para x>2:
F(x) = k\,q_0\!\Bigl(\frac{q_1}{x^2} + \frac{q_2}{(x-2)^2}\Bigr).

Passo 5

Para achar onde F(x)=0 no item (c), resolvemos
\frac{q_1}{x^2} + \frac{q_2}{(x-2)^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{25}{x^2} = \frac{10}{(x-2)^2}
25(x-2)^2 = 10\,x^2 \;\Longrightarrow\; 3x^2 -20x +20 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \frac{20\pm\sqrt{400-240}}{6} = \frac{10\pm2\sqrt{10}}{3}.
Como precisamos de x>2, mantemos
x = \frac{10+2\sqrt{10}}{3}\approx 5{,}44\,\mathrm{m}.

Passo 6

Para o extremo (máximo ou mínimo) derivamos F(x) e igualamos a zero:
F'(x)\propto -2\,\frac{q_1}{x^3} -2\,\frac{q_2}{(x-2)^3} =0 \;\Longrightarrow\; \frac{25}{x^3} = \frac{10}{(x-2)^3} \;\Longrightarrow\; 5(x-2)^3=2x^3
\bigl(1-\tfrac{2}{x}\bigr)^3 = \tfrac{2}{5} \;\Longrightarrow\; 1-\frac{2}{x} = \bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^{1/3} \;\Longrightarrow\; x = \frac{2}{1 - (2/5)^{1/3}} \approx 7{,}60\,\mathrm{m}.
Analisando o sinal de F antes e depois, conclui‐se que em x\approx7{,}60\,\mathrm{m} ocorre um máximo de F(x).

Resposta

a) F_{\text{total}}=-4{,}33\times10^{-7}\,\mathrm{N} (para a esquerda).
b) \displaystyle F(x)=k\,q_{0}\!\Bigl(\frac{q_{1}}{x^{2}}+\frac{q_{2}}{(x-2)^{2}}\Bigr) para x>2.
c) F(x)=0 em x=\frac{10+2\sqrt{10}}{3}\approx5{,}44\,\mathrm{m}; o valor extremo (máximo) ocorre em x\approx7{,}60\,\mathrm{m}.

Exercícios relacionados