Caclule x dado que \log _{4} x^{3}=9.

Passo 1

O enunciado dá a equação \log_{4} x^{3} = 9 e pede para calcular x. Informações relevantes que recebemos:
  • A base do logaritmo é 4.
  • O argumento do logaritmo é x^{3}.
  • O valor do logaritmo é 9.
  • Condição de existência: o argumento do logaritmo deve ser positivo, ou seja \;x^{3}>0\Rightarrow x>0.

Passo 2

Vamos recordar a definição fundamental do logaritmo e aplicá‑la. A definição é:
\log_{a} b = c \iff a^{c} = b,
onde a>0, a\neq 1, e b>0. Aqui a é a base, b é o argumento e c é o valor do logaritmo. Aplicando essa definição à nossa equação \log_{4} x^{3} = 9, obtemos
x^{3} = 4^{9}.

Passo 3

Agora precisamos resolver x^{3} = 4^{9} para x. Usamos propriedades de potências. A propriedade que vamos usar é:
\text{se }y^{3}=z\text{ então }y=\sqrt[3]{z}=z^{1/3}.ã
Aplicando isso:
x = \sqrt[3]{4^{9}}.

Passo 4

Simplificamos a raiz usando a regra de potência (a^{m})^{n}=a^{mn}. Em particular,
\sqrt[3]{4^{9}} = (4^{9})^{1/3} = 4^{9\cdot(1/3)} = 4^{3}.

Passo 5

Calculamos 4^{3}. Fazendo passo a passo:
4^{2} = 16,\qquad 4^{3} = 4^{2}\cdot 4 = 16\cdot 4 = 64.
Logo x = 64. Observação: x>0 satisfeita.

Passo 6

Verificação rápida (para garantir que não cometemos erro): substituímos x=64 na equação original.
\log_{4} (64^{3}) = \log_{4} \bigl( (4^{3})^{3} \bigr) = \log_{4} (4^{9}) = 9,
pois \log_{4} (4^{9})=9. A igualdade é verdadeira, então x=64 está correta.

Passo 7

Método alternativo (mais curto) que costuma aparecer em prova: usar a propriedade do logaritmo que traz o expoente para frente:
\log_{4} x^{3} = 3\log_{4} x.
Da equação 3\log_{4} x = 9 segue \log_{4} x = 3 e, pela definição do logaritmo, x = 4^{3} = 64. Mesmo resultado.

Resposta

64

Exercícios relacionados