Cacule a área da superfície
[
z=\sqrt{x{2}+y{2}},(x-2)^{2}+4 y^{2} \leq 1
]

Passo 1

O problema pede a área da superfície dada por
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
restrita ao conjunto do plano xy definido por
(x-2)^{2}+4 y^{2} \leq 1.
Informações relevantes que temos:
  • A superfície é o gráfico da função f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A região de projeção no plano xy é a elipse centrada em (2,0) com equação (x-2)^{2}+4y^{2}\le 1.
  • O objetivo é calcular a área da parte dessa superfície que projeta sobre essa elipse.

Passo 2

Vou usar a fórmula padrão para área de uma superfície que é gráfico de uma função z=f(x,y). A fórmula diz que a área A da superfície sobre uma região D do plano xy é
A=\iint_{D}\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}\;dA.
Explicando essa fórmula de forma simples: para um pequeno retângulo dx\,dy em D, o pedaço correspondente da superfície tem área aproximadamente \sqrt{1+(dz/dx)^2+(dz/dy)^2}\,dx\,dy. Aqui:
  • f_x é a derivada parcial de f em relação a x (variação de z quando só x muda),
  • f_y é a derivada parcial de f em relação a y,
  • dA representa o elemento de área dx\,dy.
    Sempre que usar essa fórmula é bom calcular f_x e f_y.

Passo 3

Calculemos f_x e f_y para f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Usamos a regra da cadeia: para f(x,y)= (x^{2}+y^{2})^{1/2},
f_x=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
e
f_y=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2y=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Agora somamos os quadrados:
f_x^{2}+f_y^{2}=\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=1,
desde que x^{2}+y^{2}\neq 0. Observação: a região dada pela elipse (x-2)^{2}+4y^{2}\le 1 está centrada em (2,0) e tem x entre 1 e 3, logo não contém a origem (0,0). Então x^{2}+y^{2}>0 em toda a região e as derivadas são bem-definidas.
Portanto o integrando fica constante:
\sqrt{1+f_x^{2}+f_y^{2}}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}.

Passo 4

Com isso a área da superfície é simplesmente
A=\iint_{D}\sqrt{2}\;dA=\sqrt{2}\iint_{D}dA=\sqrt{2}\cdot \text{(área da região }D\text{)}.áã
Agora precisamos da área da elipse
D=\{(x,y)\mid (x-2)^{2}+4y^{2}\le 1\}.
Escrevendo em forma padrão:
\frac{(x-2)^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{(1/4)}\le 1,
logo os semi-eixos são a=1 (no eixo x) e b=\tfrac{1}{2} (no eixo y). A área de uma elipse é
\text{Área da elipse}=\pi a b.Á
Portanto aqui
\text{Área}(D)=\pi\cdot 1\cdot \frac{1}{2}=\frac{\pi}{2}.Á

Passo 5

Multiplicando:
A=\sqrt{2}\cdot \frac{\pi}{2}=\frac{\pi\sqrt{2}}{2}.
Uma forma equivalente, se preferir, é A=\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}, pois \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.

Resposta

\dfrac{\pi\sqrt{2}}{2}

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