Cacule a área da superfície
[
z=\sqrt{x{2}+y{2}},(x-2)^{2}+4 y^{2} \leq 1
]
[
z=\sqrt{x{2}+y{2}},(x-2)^{2}+4 y^{2} \leq 1
]
Passo 1
O problema pede a área da superfície dada por
restrita ao conjunto do plano
definido por
Informações relevantes que temos:
- A superfície é o gráfico da função
. - A região de projeção no plano
é a elipse centrada em com equação . - O objetivo é calcular a área da parte dessa superfície que projeta sobre essa elipse.
Passo 2
Vou usar a fórmula padrão para área de uma superfície que é gráfico de uma função
. A fórmula diz que a área
da superfície sobre uma região
do plano
é
Explicando essa fórmula de forma simples: para um pequeno retângulo
em
, o pedaço correspondente da superfície tem área aproximadamente
. Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a (variação de quando só muda), -
é a derivada parcial de em relação a , -
representa o elemento de área .
Sempre que usar essa fórmula é bom calculare .
Passo 3
Calculemos
e
para
.
Usamos a regra da cadeia: para ,
Usamos a regra da cadeia: para
e
Agora somamos os quadrados:
desde que
. Observação: a região dada pela elipse
está centrada em
e tem
entre
e
, logo não contém a origem
. Então
em toda a região e as derivadas são bem-definidas.
Portanto o integrando fica constante:
Passo 4
Com isso a área da superfície é simplesmente
Agora precisamos da área da elipse
Escrevendo em forma padrão:
logo os semi-eixos são
(no eixo
) e
(no eixo
). A área de uma elipse é
Portanto aqui
Passo 5
Multiplicando:
Uma forma equivalente, se preferir, é
, pois
.