Encontre os valores de c tal que o gráfico de
tenha um ponto de inflexão.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores de
tais que o gráfico da função
tenha um ponto de inflexão.
Informações dadas:
é um polinômio de quarto grau com parâmetro real
.
A pergunta é: para quais valores de existe pelo menos um ponto de inflexão no gráfico de
?
A pergunta é: para quais valores de
Passo 2
O que é um ponto de inflexão (explicação didática)?
Um ponto de inflexão é um ponto onde a concavidade da função muda (de côncava para convexa ou vice-versa). Um teste prático muito usado é:
Um ponto de inflexão é um ponto onde a concavidade da função muda (de côncava para convexa ou vice-versa). Um teste prático muito usado é:
- calcular a segunda derivada
; - procurar pontos onde
ou não existe; - confirmar que em cada ponto candidato há mudança de sinal de
(isto garante que a concavidade muda).
Observação pedagógica com exemplos rápidos:
- Se
, em temos e há troca de sinal (negativo para a esquerda, positivo para a direita) → ponto de inflexão. - Se
, em temos mas sempre (sem troca de sinal) → não é ponto de inflexão (é raiz de multiplicidade par).
No nosso caso
é polinomial, então
existe em todo lugar; logo os candidatos são zeros de
. Precisamos que esses zeros provoquem mudança de sinal.
Passo 3
Calcular
e
passo a passo usando a regra do poder (derivada de
é
):
Derivando termo a termo:
- derivada de
é , - derivada de
é , - derivada de
é , - derivada de
é , - derivada de
é .
Portanto
Derivando novamente (cada termo de
):
- derivada de
é , - derivada de
é , - derivada de
é , - derivada de
é .
Logo
Passo 4
Procurar os candidatos a ponto de inflexão resolvendo
:
Podemos simplificar dividindo por
:
Isto é uma equação quadrática em
. Suas raízes são candidatos a pontos de inflexão — desde que haja troca de sinal de
em cada raiz.
Passo 5
Analisar quando a quadrática
tem raízes reais (e distintas). Use o discriminante
da quadrática
, que é
. Aqui
,
, o termo constante é
(já estava na equação), então:
Interpretação:
- Se
então a quadrática tem duas raízes reais distintas. Como o coeficiente líder , a quadrática muda de sinal ao passar por cada raiz (é positiva fora do intervalo entre raízes e negativa entre elas). Isso garante troca de sinal em cada raiz, então cada uma é um ponto de inflexão de . - Se
então há uma raiz dupla. Nesse caso a quadrática tem o mesmo sinal em ambos os lados (aqui, implica para todo ), logo não há troca de sinal e não há ponto de inflexão. - Se
não há raízes reais, logo não há pontos onde e, portanto, não há pontos de inflexão.
Resolver a desigualdade
:
Caso limite
dá
(raiz dupla, sem troca de concavidade). Para
temos
(nenhuma raiz real).
Passo 6
Conclusão e interpretação final:
- Para
a segunda derivada tem duas raízes reais distintas, cada uma correspondendo a uma mudança de sinal de ; portanto o gráfico de tem pontos de inflexão (na verdade dois). - Para
há uma raiz dupla de e não ocorre mudança de concavidade → sem ponto de inflexão. - Para
não há raízes reais de → sem ponto de inflexão.