Encontre os valores de c tal que o gráfico de
f(x)=x^{4}+2 x^{3}+c x^{2}+2 x+2 tenha um ponto de inflexão.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores de c tais que o gráfico da função
f(x)=x^{4}+2 x^{3}+c x^{2}+2 x+2
tenha um ponto de inflexão.
Informações dadas:
\;f é um polinômio de quarto grau com parâmetro real \;c.
A pergunta é: para quais valores de \;c existe pelo menos um ponto de inflexão no gráfico de \;f?

Passo 2

O que é um ponto de inflexão (explicação didática)?
Um ponto de inflexão é um ponto onde a concavidade da função muda (de côncava para convexa ou vice-versa). Um teste prático muito usado é:
  • calcular a segunda derivada \;f''(x);
  • procurar pontos onde \;f''(x)=0 ou \;f''(x) não existe;
  • confirmar que em cada ponto candidato há mudança de sinal de \;f'' (isto garante que a concavidade muda).
Observação pedagógica com exemplos rápidos:
  • Se \;f''(x)=x, em x=0 temos \;f''(0)=0 e há troca de sinal (negativo para a esquerda, positivo para a direita) → ponto de inflexão.
  • Se \;f''(x)=x^{2}, em x=0 temos \;f''(0)=0 mas \;f''(x)\ge0 sempre (sem troca de sinal) → não é ponto de inflexão (é raiz de multiplicidade par).
No nosso caso \;f é polinomial, então \;f'' existe em todo lugar; logo os candidatos são zeros de \;f''. Precisamos que esses zeros provoquem mudança de sinal.

Passo 3

Calcular \;f'(x) e \;f''(x) passo a passo usando a regra do poder (derivada de x^{n} é n x^{n-1}):
Derivando termo a termo:
  • derivada de \;x^{4} é \;4x^{3},
  • derivada de \;2x^{3} é \;6x^{2},
  • derivada de \;c x^{2} é \;2c x,
  • derivada de \;2x é \;2,
  • derivada de \;2 é \;0.
Portanto
f'(x)=4x^{3}+6x^{2}+2c x+2.
Derivando novamente (cada termo de f'):
  • derivada de \;4x^{3} é \;12x^{2},
  • derivada de \;6x^{2} é \;12x,
  • derivada de \;2c x é \;2c,
  • derivada de \;2 é \;0.
Logo
f''(x)=12x^{2}+12x+2c.

Passo 4

Procurar os candidatos a ponto de inflexão resolvendo \;f''(x)=0:
12x^{2}+12x+2c=0.
Podemos simplificar dividindo por \;2:
6x^{2}+6x+c=0.
Isto é uma equação quadrática em \;x. Suas raízes são candidatos a pontos de inflexão — desde que haja troca de sinal de \;f'' em cada raiz.

Passo 5

Analisar quando a quadrática \;6x^{2}+6x+c tem raízes reais (e distintas). Use o discriminante \;\Delta da quadrática \;ax^{2}+bx+c, que é \;\Delta=b^{2}-4ac. Aqui a=6, b=6, o termo constante é \;c (já estava na equação), então:
\Delta = 6^{2}-4\cdot 6\cdot c = 36-24c.
Interpretação:
  • Se \;\Delta>0 então a quadrática tem duas raízes reais distintas. Como o coeficiente líder a=6>0, a quadrática muda de sinal ao passar por cada raiz (é positiva fora do intervalo entre raízes e negativa entre elas). Isso garante troca de sinal em cada raiz, então cada uma é um ponto de inflexão de f.
  • Se \;\Delta=0 então há uma raiz dupla. Nesse caso a quadrática tem o mesmo sinal em ambos os lados (aqui, \;a>0 implica \;f''(x)\ge0 para todo x), logo não há troca de sinal e não há ponto de inflexão.
  • Se \;\Delta<0 não há raízes reais, logo não há pontos onde \;f''(x)=0 e, portanto, não há pontos de inflexão.
Resolver a desigualdade \;\Delta>0:
36-24c>0 \quad\Longleftrightarrow\quad 24c<36 \quad\Longleftrightarrow\quad c<\frac{36}{24}=\frac{3}{2}.
Caso limite \;c=\tfrac{3}{2} \;\Delta=0 (raiz dupla, sem troca de concavidade). Para \;c>\tfrac{3}{2} temos \;\Delta<0 (nenhuma raiz real).

Passo 6

Conclusão e interpretação final:
  • Para \;c<\tfrac{3}{2} a segunda derivada tem duas raízes reais distintas, cada uma correspondendo a uma mudança de sinal de \;f''; portanto o gráfico de \;f tem pontos de inflexão (na verdade dois).
  • Para \;c=\tfrac{3}{2} há uma raiz dupla de \;f'' e não ocorre mudança de concavidade → sem ponto de inflexão.
  • Para \;c>\tfrac{3}{2} não há raízes reais de \;f'' → sem ponto de inflexão.

Resposta

\;c<\dfrac{3}{2}

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