Determine os intervalos nos quais f(x)=\frac{\ln x}{x} é crescente e nos quais é decrescente. Determine também os intervalos nos quais f(x)=\frac{\ln x}{x} seja côncavo para cima.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função f(x)=\dfrac{\ln x}{x}:
  1. Determinar os intervalos em que f é crescente e os intervalos em que f é decrescente.
  2. Determinar os intervalos em que f é côncava para cima (ou seja, onde f''(x)>0).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado e que devemos usar imediatamente:
  • A função envolve \ln x, portanto seu domínio é x>0 (ou seja, (0,\infty)).
  • Para estudar crescimento/decrescimento usaremos a derivada f'(x): se f'(x)>0 em um intervalo, f é crescente ali; se f'(x)<0, f é decrescente.
  • Para estudar concavidade usaremos a segunda derivada f''(x): se f''(x)>0, f é côncava para cima; se f''(x)<0, é côncava para baixo.

Passo 2

Calcular f'(x) passo a passo e explicar a regra usada.
Vou reescrever f de modo que a diferenciação fique clara:
f(x)=\frac{\ln x}{x}=(\ln x)\cdot x^{-1}.
Posso usar a regra do produto: se u(x)=\ln x e v(x)=x^{-1}, então
(f)' = u'v + uv'.
  • u'(x)=(\ln x)'=\dfrac{1}{x}.
  • v'(x)=(x^{-1})'=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.
Substituindo:
f'(x)=\frac{1}{x}\cdot x^{-1} + \ln x \cdot (-x^{-2}).
Simplificando os fatores x:
f'(x)=x^{-2} - (\ln x)\,x^{-2} = \frac{1-\ln x}{x^{2}}.
Comentário didático: aqui a parte importante é que x^{2}>0 para todo x\in(0,\infty), então o sinal de f'(x) vem do numerador 1-\ln x. Sempre que fizer análise de sinal de derivada observe se o denominador tem sinal fixo no domínio.

Passo 3

Encontrar pontos críticos e determinar os intervalos de crescimento/decrescimento.
Resolver f'(x)=0:
\frac{1-\ln x}{x^{2}}=0 \iff 1-\ln x=0 \iff \ln x=1 \iff x=e.
Portanto x=e é o único ponto onde f' se anula (no domínio).
Analisar o sinal de f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}} em (0,\infty):
  • Para 0<x<e temos \ln x<1, então 1-\ln x>0. Como x^{2}>0, segue f'(x)>0. Logo f é crescente em (0,e).
  • Para x>e temos \ln x>1, então 1-\ln x<0. Como x^{2}>0, segue f'(x)<0. Logo f é decrescente em (e,\infty).
Conclusão parcial: f aumenta em (0,e) e diminui em (e,\infty). Em x=e há um máximo local (troca de sinal de + para -).

Passo 4

Calcular f''(x) passo a passo e explicar a regra usada.
Partimos de
f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}=(1-\ln x)\,x^{-2}.
Vou usar a regra do produto novamente com a(x)=1-\ln x e b(x)=x^{-2}.
  • a'(x)=-(\ln x)'=-\dfrac{1}{x}.
  • b'(x)=(x^{-2})'=-2x^{-3}.
Aplicando f''=a'b + a b':
f''(x)=\left(-\frac{1}{x}\right)x^{-2} + (1-\ln x)\left(-2x^{-3}\right).
Colocando em potências de x:
f''(x)=-x^{-3} -2(1-\ln x)x^{-3}.
Fatorando x^{-3}:
f''(x)=\big(-1 -2(1-\ln x)\big)x^{-3}.
Desenvolvendo o parêntese:
-1 -2(1-\ln x) = -1 -2 +2\ln x = 2\ln x -3.
Portanto
f''(x)=\frac{2\ln x - 3}{x^{3}}.
Comentário: novamente x^{3}>0 para x>0, então o sinal de f'' é dado pelo numerador 2\ln x -3.

Passo 5

Determinar onde f''(x)>0 (côncavo para cima) e onde f''(x)<0 (côncavo para baixo).
Resolver f''(x)=0:
\frac{2\ln x - 3}{x^{3}}=0 \iff 2\ln x - 3 = 0 \iff \ln x = \frac{3}{2} \iff x = e^{3/2}.
Analisar o sinal de 2\ln x - 3:
  • Para x>e^{3/2} temos \ln x > \tfrac{3}{2}, então 2\ln x - 3>0 e como x^{3}>0, segue f''(x)>0. Assim f é côncavo para cima em (e^{3/2},\infty).
  • Para 0<x<e^{3/2} temos \ln x < \tfrac{3}{2}, então 2\ln x - 3<0 e f''(x)<0. Assim f é côncavo para baixo em (0,e^{3/2}).
Portanto há um ponto de inflexão em x=e^{3/2}, onde a concavidade muda de para baixo para para cima.

Passo 6

Checagens rápidas com pontos de teste (para consolidar o entendimento):
  • Escolha x=1 (que está em (0,e)): f'(1)=\dfrac{1-\ln 1}{1}=1-0=1>0 confirma crescimento em (0,e). f''(1)=\dfrac{2\cdot 0 -3}{1}=-3<0 confirma concavidade para baixo em torno de 1.
  • Escolha x=e^{2} (que é >e^{3/2}): f''(e^{2})=\dfrac{2\cdot 2 -3}{e^{6}}=\dfrac{1}{e^{6}}>0 confirma concavidade para cima.

Resposta

f é crescente em (0,e)
f é decrescente em (e,\infty)
f é côncava para cima em (e^{3/2},\infty)

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