Determine os intervalos nos quais
é crescente e nos quais é decrescente. Determine também os intervalos nos quais
seja côncavo para cima.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
:
- Determinar os intervalos em que
é crescente e os intervalos em que é decrescente. - Determinar os intervalos em que
é côncava para cima (ou seja, onde ).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado e que devemos usar imediatamente:
- A função envolve
, portanto seu domínio é (ou seja, ). - Para estudar crescimento/decrescimento usaremos a derivada
: se em um intervalo, é crescente ali; se , é decrescente. - Para estudar concavidade usaremos a segunda derivada
: se , é côncava para cima; se , é côncava para baixo.
Passo 2
Calcular
passo a passo e explicar a regra usada.
Vou reescrever
de modo que a diferenciação fique clara:
Posso usar a regra do produto: se
e
, então
-
. -
.
Substituindo:
Simplificando os fatores
:
Comentário didático: aqui a parte importante é que
para todo
, então o sinal de
vem do numerador
. Sempre que fizer análise de sinal de derivada observe se o denominador tem sinal fixo no domínio.
Passo 3
Encontrar pontos críticos e determinar os intervalos de crescimento/decrescimento.
Resolver
:
Portanto
é o único ponto onde
se anula (no domínio).
Analisar o sinal de
em
:
- Para
temos , então . Como , segue . Logo é crescente em . - Para
temos , então . Como , segue . Logo é decrescente em .
Conclusão parcial:
aumenta em
e diminui em
. Em
há um máximo local (troca de sinal de
para
).
Passo 4
Calcular
passo a passo e explicar a regra usada.
Partimos de
Vou usar a regra do produto novamente com
e
.
-
. -
.
Aplicando
:
Colocando em potências de
:
Fatorando
:
Desenvolvendo o parêntese:
Portanto
Comentário: novamente
para
, então o sinal de
é dado pelo numerador
.
Passo 5
Determinar onde
(côncavo para cima) e onde
(côncavo para baixo).
Resolver
:
Analisar o sinal de
:
- Para
temos , então e como , segue . Assim é côncavo para cima em . - Para
temos , então e . Assim é côncavo para baixo em .
Portanto há um ponto de inflexão em
, onde a concavidade muda de para baixo para para cima.
Passo 6
Checagens rápidas com pontos de teste (para consolidar o entendimento):
- Escolha
(que está em ): confirma crescimento em . confirma concavidade para baixo em torno de . - Escolha
(que é ): confirma concavidade para cima.