Cacule os limites abaixo ou justifique que nāo existem.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão envolve
e . Isso implica que só faz sentido falar da função real quando e . Ou seja, o domínio real da função é . - O ponto de interesse é
, onde a função originalmente não está definida (denominador zero). O limite, porém, é tomado por pontos do domínio que se aproximam de . - Não há outras informações (figura/tabela). Vamos trabalhar só com a expressão algébrica.
Passo 2
Primeiro passo prático: tentar simplificar a expressão algébrica para ver o comportamento quando
se aproxima de
com
. Escrevo a fração separando um termo que parece óbvio:
Passo 3
A segunda parcela simplifica bem, desde que
(ou seja, exceto no próprio ponto
):
Portanto, quando
e
,
Passo 4
Agora analiso a primeira parcela. Use a identidade de diferença de quadrados reescrita com raízes:
Essa fatoração é muito útil porque o fator
cancela com o denominador. Então, para
no domínio e diferentes de
,
Observação didática: essa etapa é só álgebra básica — a ideia é transformar a diferença
num produto que contenha exatamente o denominador, permitindo cancelamento. Isso evita dividir por algo que tende a zero de forma ambígua.
Passo 5
Substituindo essa simplificação na expressão original, obtemos (para todo
do domínio com
):
Portanto, o valor da função em qualquer ponto próximo de
(e do domínio) é simplesmente
. Isso já nos dá um caminho direto para o limite.
Passo 6
Agora calculo o limite da expressão simplificada quando
com
. Sabemos que a função raiz é contínua para argumentos não negativos, logo
Usando propriedades de limites (a soma e diferença de limites quando existem), temos
Passo 7
Conclusão lógica e observações finais: apesar da função não estar definida em
, o valor das imagens dos pontos do domínio que se aproximam de
tende a
. A simplificação algébrica mostrou que não existe dependência de caminho estranha — o limite de
é o mesmo para qualquer modo de
(com
) de aproximar
. Portanto o limite existe e é igual a
.