Cacule os limites abaixo ou justifique que nāo existem.
(a) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x-y+\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x-y+\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão envolve \sqrt{x} e \sqrt{y}. Isso implica que só faz sentido falar da função real quando x\ge 0 e y\ge 0. Ou seja, o domínio real da função é \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x\ge0,\\ y\ge0\}.
  • O ponto de interesse é (0,0), onde a função originalmente não está definida (denominador zero). O limite, porém, é tomado por pontos do domínio que se aproximam de (0,0).
  • Não há outras informações (figura/tabela). Vamos trabalhar só com a expressão algébrica.

Passo 2

Primeiro passo prático: tentar simplificar a expressão algébrica para ver o comportamento quando (x,y) se aproxima de (0,0) com x\ge0,\\ y\ge0. Escrevo a fração separando um termo que parece óbvio:
\frac{x-y+\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}.

Passo 3

A segunda parcela simplifica bem, desde que (\sqrt{x}+\sqrt{y})\neq 0 (ou seja, exceto no próprio ponto (0,0)):
\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=1.
Portanto, quando (x,y)\neq(0,0) e x,y\ge0,
\frac{x-y+\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} + 1.

Passo 4

Agora analiso a primeira parcela. Use a identidade de diferença de quadrados reescrita com raízes:
x-y = (\sqrt{x})^2-(\sqrt{y})^2 = (\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y}).
Essa fatoração é muito útil porque o fator (\sqrt{x}+\sqrt{y}) cancela com o denominador. Então, para (x,y) no domínio e diferentes de (0,0),
\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = \sqrt{x}-\sqrt{y}.
Observação didática: essa etapa é só álgebra básica — a ideia é transformar a diferença x-y num produto que contenha exatamente o denominador, permitindo cancelamento. Isso evita dividir por algo que tende a zero de forma ambígua.

Passo 5

Substituindo essa simplificação na expressão original, obtemos (para todo (x,y) do domínio com (x,y)\neq(0,0)):
\frac{x-y+\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} = 1 + \sqrt{x} - \sqrt{y}.
Portanto, o valor da função em qualquer ponto próximo de (0,0) (e do domínio) é simplesmente 1+\sqrt{x}-\sqrt{y}. Isso já nos dá um caminho direto para o limite.

Passo 6

Agora calculo o limite da expressão simplificada quando (x,y)\to(0,0) com x\ge0,\\ y\ge0. Sabemos que a função raiz é contínua para argumentos não negativos, logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \sqrt{x} = 0 \qquad\text{e}\qquad \lim_{(x,y)\to(0,0)} \sqrt{y} = 0.
Usando propriedades de limites (a soma e diferença de limites quando existem), temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \big(1+\sqrt{x}-\sqrt{y}\big) = 1 + 0 - 0 = 1.

Passo 7

Conclusão lógica e observações finais: apesar da função não estar definida em (0,0), o valor das imagens dos pontos do domínio que se aproximam de (0,0) tende a 1. A simplificação algébrica mostrou que não existe dependência de caminho estranha — o limite de 1+\sqrt{x}-\sqrt{y} é o mesmo para qualquer modo de (x,y) (com x,y\ge0) de aproximar (0,0). Portanto o limite existe e é igual a 1.

Resposta

1

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