Dada ss funçōes V(x, y)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} e F(x, y)=\left(\frac{x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{2}{2}}}, \frac{y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right), responda o que se pede:
a) Calcule o gradiente de V e conclua que F=-\nabla V.
b) Determine o plano tangente ao gráfico de V(x, y) passando pelo ponto \left(1,1, \frac{1}{\sqrt{2}}\right). (Assuma que a funçāo V é diferenciável, nāo sendo necessário justificar essa parte).
Obs: Lembre de aplicar Regra da Cadeia estudada no C1. Lembrar das derivadas das seguintes fungōes pode ser útil: \left(\frac{1}{f}\right)^{\prime}=-\frac{1}{t^{2}},(\sqrt{f})^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{t}}.

Passo 1

O enunciado dá as funções
V(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
e
F(x,y)=\left(\frac{x}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}},\;\frac{y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right),
e pede duas coisas:
a) Calcular o gradiente de V e concluir que F=-\nabla V.
b) Determinar o plano tangente ao gráfico de V que passa por \left(1,1,\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
Nota: estou usando a forma de F com expoente \tfrac{3}{2} em ambas as componentes porque isso é compatível com V (caso contrário haveria contradição entre V e F).

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos calcular?
O gradiente de uma função de duas variáveis V(x,y) é o vetor das derivadas parciais:
\nabla V(x,y)=\left(\frac{\partial V}{\partial x},\;\frac{\partial V}{\partial y}\right).
Aqui V é uma composição: V(x,y)=g(h(x,y)) com
h(x,y)=x^{2}+y^{2},\qquad g(t)=t^{-1/2}.
A Regra da Cadeia diz que, por exemplo,
\frac{\partial V}{\partial x}=g'(h(x,y))\cdot\frac{\partial h}{\partial x}.
Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial V}{\partial x} com detalhe:
Primeiro calcule g'(t). Como g(t)=t^{-1/2}, temos
g'(t)=-\tfrac{1}{2}t^{-3/2}.
Também \displaystyle \frac{\partial h}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x.
Aplicando a cadeia:
\frac{\partial V}{\partial x}=g'(h(x,y))\cdot 2x = \left(-\tfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-3/2}\right)\cdot 2x.
Simplificando os 2 e o sinal:
\frac{\partial V}{\partial x}=-\frac{x}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial V}{\partial y} de forma análoga:
\displaystyle \frac{\partial h}{\partial y}=2y. Usando a mesma derivada g'(t),
\frac{\partial V}{\partial y}=g'(h(x,y))\cdot 2y = \left(-\tfrac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-3/2}\right)\cdot 2y = -\frac{y}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}.

Passo 5

Montando o gradiente a partir das parciais:
\nabla V(x,y)=\left(-\frac{x}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}},\; -\frac{y}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}\right).
Calculando -\nabla V obtemos
-\nabla V(x,y)=\left(\frac{x}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}},\; \frac{y}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}\right),
que coincide com a função F(x,y) fornecida. Portanto F=-\nabla V, como pedido.

Passo 6

Plano tangente: fórmula e aplicação.
A fórmula do plano tangente ao gráfico z=V(x,y) no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) é
z = z_{0} + V_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0}) + V_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0}),
onde V_{x} e V_{y} são as derivadas parciais já calculadas. Aqui (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,1,\tfrac{1}{\sqrt{2}}).

Passo 7

Avaliar as parciais em (1,1). Como x^{2}+y^{2}=1^{2}+1^{2}=2, temos
V_{x}(1,1)=-\frac{1}{(2)^{3/2}}=-\frac{1}{2\sqrt{2}},\qquad V_{y}(1,1)=-\frac{1}{2\sqrt{2}}.
Substituindo na fórmula do plano:
z=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{2}}(x-1)-\frac{1}{2\sqrt{2}}(y-1).
Podemos simplificar essa expressão multiplicando ambos os lados por 2\sqrt{2} e rearranjando para obter uma forma linear mais limpa:
x+y+2\sqrt{2}\,z=4.
Ambas as formas são equivalentes; a última é uma forma simples e verificada que contém o ponto dado.

Resposta

(a) \nabla V(x,y)=\left(-\dfrac{x}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}},\; -\dfrac{y}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}\right) e portanto F=-\nabla V.\n
(b) Plano tangente: \displaystyle z=\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2\sqrt{2}}(x-1)-\frac{1}{2\sqrt{2}}(y-1) (equivalente a \;x+y+2\sqrt{2}\,z=4).

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