Dada ss funçōes
e
, responda o que se pede:
a) Calcule o gradiente de
e conclua que
.
b) Determine o plano tangente ao gráfico de
passando pelo ponto
. (Assuma que a funçāo
é diferenciável, nāo sendo necessário justificar essa parte).
Obs: Lembre de aplicar Regra da Cadeia estudada no C1. Lembrar das derivadas das seguintes fungōes pode ser útil:
.
a) Calcule o gradiente de
b) Determine o plano tangente ao gráfico de
Passo 1
O enunciado dá as funções
e
e pede duas coisas:
a) Calcular o gradiente de e concluir que
.
b) Determinar o plano tangente ao gráfico de que passa por
.
Nota: estou usando a forma de com expoente
em ambas as componentes porque isso é compatível com
(caso contrário haveria contradição entre
e
).
a) Calcular o gradiente de
b) Determinar o plano tangente ao gráfico de
Nota: estou usando a forma de
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos calcular?
O gradiente de uma função de duas variáveis é o vetor das derivadas parciais:
O gradiente de uma função de duas variáveis
Aqui
é uma composição:
com
A Regra da Cadeia diz que, por exemplo,
Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular
com detalhe:
Primeiro calcule . Como
, temos
Primeiro calcule
Também
Aplicando a cadeia:
Aplicando a cadeia:
Simplificando os
e o sinal:
Passo 4
Calcular
de forma análoga:
. Usando a mesma derivada
,
Passo 5
Montando o gradiente a partir das parciais:
Calculando
obtemos
que coincide com a função
fornecida. Portanto
, como pedido.
Passo 6
Plano tangente: fórmula e aplicação.
A fórmula do plano tangente ao gráfico no ponto
é
A fórmula do plano tangente ao gráfico
onde
e
são as derivadas parciais já calculadas. Aqui
.
Passo 7
Avaliar as parciais em
. Como
, temos
Substituindo na fórmula do plano:
Podemos simplificar essa expressão multiplicando ambos os lados por
e rearranjando para obter uma forma linear mais limpa:
Ambas as formas são equivalentes; a última é uma forma simples e verificada que contém o ponto dado.
Resposta
(a)
e portanto
.\n
(b) Plano tangente: (equivalente a
).
(b) Plano tangente: