Calcular as integrais indefinidas.
\int \frac{d t}{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{n}}, \quad n \in \mathbb{Z}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{d t}{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{n}},
onde \,n\in\mathbb{Z}. Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A variável de integração é t.
  • O parâmetro n é um inteiro fixo.
  • O fator \left(n-\tfrac{1}{2}\right)^{n} depende apenas de n, não depende de t. Portanto o integrando é uma constante em relação a t.
  • Como n é inteiro, \left(n-\tfrac{1}{2}\right)\neq 0 (pois n não pode ser \tfrac{1}{2}), então a constante no denominador está bem definida.

Passo 2

Lembra do fato básico de integração: se a é uma constante (independente de t), então
\int a\,dt = a\,t + C,
onde C é a constante de integração. Por que isso é verdade? Porque derivando a\,t + C em relação a t obtemos a, já que \frac{d}{dt}(a\,t)=a e \frac{d}{dt}C=0. Assim a primitiva de uma constante é ela mesma multiplicada por t.

Passo 3

Identificamos na integral a constante
a=\frac{1}{\left(n-\tfrac{1}{2}\right)^{n}}.
Reforçando: a não depende de t, apenas de n. Logo podemos aplicar diretamente a fórmula do passo anterior.

Passo 4

Aplicando \int a\,dt = a\,t + C com a=\dfrac{1}{\left(n-\tfrac{1}{2}\right)^{n}}, obtemos
\int \frac{d t}{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{n}} = \frac{1}{\left(n-\tfrac{1}{2}\right)^{n}}\,t + C.

Passo 5

Verificação rápida (pra ficar tranquilo): derivando a primitiva encontrada em relação a t,
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{\left(n-\tfrac{1}{2}\right)^{n}}\,t + C\right) = \frac{1}{\left(n-\tfrac{1}{2}\right)^{n}},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{t}{\left(n-\tfrac{1}{2}\right)^{n}} + C

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