Para cada afirmação abaixo, indique se é Verdadeira (V) ou Falsa (F). Quando for V, apresente uma breve justificativa matemática. Quando for \mathbf{F}), reescreva a afirmação corretamente e explique o erro conceitual.
Uma série alternada \sum(-1)^{n} a_{n} com a_{n}>0 é convergente se \left\{a_{n}\right\} é decrescente e \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0.

Passo 1

Enunciado dado: “Uma série alternada \sum(-1)^{n} a_{n} com a_{n}>0 é convergente se \{a_{n}\} é decrescente e \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.”
O que se pede: decidir se essa afirmação é Verdadeira (V) ou Falsa (F).
Informações fornecidas relevantes:
  • A série é \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_{n}.
  • Os termos a_{n} são positivos: a_{n}>0.
  • Supõe-se que \{a_{n}\} é decrescente (isto é, a_{n+1}\le a_{n} para todo n ou a partir de algum N).
  • Supõe-se que \lim_{n\to\infty} a_{n}=0.

Passo 2

Intuição do que está por trás: existe um critério clássico (conhecido como teste de Leibniz) que dá condições suficientes para a convergência de séries alternadas. Vou enunciar esse critério de forma clara e explicar cada hipótese.
Enunciado do critério de Leibniz (forma habitual): se \{a_{n}\} satisfaz
  1. a_{n}\ge 0 para todo n,
  2. \{a_{n}\} é monótona não crescente (isto é, a_{n+1}\le a_{n} para todo n, ou ao menos a partir de algum N),
  3. \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=0,
então a série alternada \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_{n} (ou equivalente, up to sinal) é convergente.
Explicação dos itens:
  • a_{n}\ge 0 garante que os sinais da série realmente alternam e que |\text{termo }n|=a_{n}.
  • Monotonia (não crescente) permite comparar blocos de dois termos consecutivos e obter monotonia das subsequências de somas par/ímpar.
  • \lim a_{n}=0 é necessário: se os termos não tendem a zero, a série não pode convergir.
Observação sobre “decrescente”: o critério exige monoticidade a partir de algum N (ou seja, eventual monotonicidade). Exigir monotonicidade estrita desde n=1 é mais forte, mas não prejudica a validade do critério.

Passo 3

Preparação do argumento técnico (esqueleto da prova): vou transformar a série dada numa forma padrão do critério (diferença de sinal por um fator -1 não altera convergência) e mostrar de forma elementar por que as subsequências de somas par e ímpar convergem para o mesmo limite.
Seja
S_k=\sum_{n=1}^{k} (-1)^{n} a_{n}.
Note que \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_{n} = -\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_{n}, portanto a convergência de uma implica na convergência da outra. Assim posso aplicar o raciocínio padrão do critério de Leibniz sem perda de generalidade.
Defina as subsequências de somas par e ímpar:
S_{2m}=\sum_{n=1}^{2m} (-1)^{n} a_{n},\qquad S_{2m+1}=\sum_{n=1}^{2m+1} (-1)^{n} a_{n}.

Passo 4

Mostrando monotonicidade das subsequências:
Calcule a diferença entre dois pares consecutivos:
S_{2(m+1)}-S_{2m}=(-1)^{2m+1}a_{2m+1}+(-1)^{2m+2}a_{2m+2}.
Como (-1)^{2m+1}=-1 e (-1)^{2m+2}=+1, obtemos
S_{2(m+1)}-S_{2m}= -a_{2m+1}+a_{2m+2}=-(a_{2m+1}-a_{2m+2}).
Pela hipótese de decrescimento a_{2m+1}\ge a_{2m+2}, então a_{2m+1}-a_{2m+2}\ge 0, logo
S_{2(m+1)}-S_{2m}\le 0.
Assim \{S_{2m}\} é uma sequência não crescente (monótona decrescente).
Agora calcule a diferença entre dois ímpares consecutivos:
S_{2(m+1)+1}-S_{2m+1}=(-1)^{2m+2}a_{2m+2}+(-1)^{2m+3}a_{2m+3}=a_{2m+2}-a_{2m+3}.
Pela hipótese de decrescimento a_{2m+2}\ge a_{2m+3}, então a_{2m+2}-a_{2m+3}\ge 0, logo
S_{2(m+1)+1}-S_{2m+1}\ge 0.
Assim \{S_{2m+1}\} é uma sequência não decrescente (monótona crescente).

Passo 5

Mostrando que as duas subsequências são limitadas uma pela outra e que a diferença entre elas tende a zero:
Observe que para todo m,
S_{2m+1}-S_{2m} = (-1)^{2m+1} a_{2m+1} = -a_{2m+1}\le 0,
ou seja S_{2m+1}\le S_{2m}. Portanto, cada termo ímpar é menor ou igual ao termo par correspondente; isso mostra que a subsequência crescente \{S_{2m+1}\} é limitada superiormente por S_{2m}, e a subsequência decrescente \{S_{2m}\} é limitada inferiormente por S_{2m+1}. Logo ambas são monotônicas e limitadas, portanto convergentes (teorema de convergência de sequência monotônica).
Além disso,
0 \le S_{2m} - S_{2m+1} = a_{2m+1}.
Pela hipótese \lim_{n\to\infty} a_{n}=0, segue que
\lim_{m\to\infty} \bigl(S_{2m}-S_{2m+1}\bigr)=0.
Como \lim S_{2m} existe (remo de uma sequência monótona limitada) e \lim S_{2m+1} existe, e a diferença entre seus termos tende a zero, as duas subsequências têm o mesmo limite. Portanto a sequência total de somas parciais S_k converge.

Passo 6

Conclusão e observações finais didáticas:
  • Conclusão: a afirmação dada é Verdadeira. As hipóteses a_{n}>0, \{a_{n}\} decrescente e \lim_{n\to\infty} a_{n}=0 garantem a convergência da série alternada, por aplicação do critério de Leibniz como demonstrado.
  • Observações úteis para prova/exame:
    1. A monotonicidade não precisa valer para todos os n, basta que valha a partir de algum índice N (eventual monotonicidade). Na prática nos exames muitas vezes aceitam "decrescente a partir de algum N".
    2. A condição \lim a_{n}=0 é necessária: se \lim a_{n}\neq 0, a série diverge (os termos não tendem a zero).
    3. Monotonicidade não é necessária para convergência em todos os casos — existem séries alternadas convergentes com a_{n} não monotônica —, mas a monotonicidade é uma hipótese simples e suficiente (e muito usada em prova).
    4. A prova do critério usa exatamente a ideia das subsequências de somas par/ímpar serem monotônicas e “encavalçadas”, e que sua diferença é a_{2m+1}\to 0.

Resposta

V — Verdadeira. Justificativa: é o critério de Leibniz; com a_{n}\ge0, a_{n} decrescente e \lim_{n\to\infty}a_{n}=0 as subsequências de somas par e ímpar são monotônicas e limitadas, têm a mesma diferença que tende a zero, logo a série converge.

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