Para cada afirmação abaixo, indique se é Verdadeira (V) ou Falsa (F). Quando for V, apresente uma breve justificativa matemática. Quando for
), reescreva a afirmação corretamente e explique o erro conceitual.
Uma série alternada
com
é convergente se
é decrescente e
.
Uma série alternada
Passo 1
Enunciado dado: “Uma série alternada
com
é convergente se
é decrescente e
.”
O que se pede: decidir se essa afirmação é Verdadeira (V) ou Falsa (F).
Informações fornecidas relevantes:
Informações fornecidas relevantes:
- A série é
. - Os termos
são positivos: . - Supõe-se que
é decrescente (isto é, para todo ou a partir de algum ). - Supõe-se que
.
Passo 2
Intuição do que está por trás: existe um critério clássico (conhecido como teste de Leibniz) que dá condições suficientes para a convergência de séries alternadas. Vou enunciar esse critério de forma clara e explicar cada hipótese.
Enunciado do critério de Leibniz (forma habitual): se
satisfaz
-
para todo , -
é monótona não crescente (isto é, para todo , ou ao menos a partir de algum ), -
,
então a série alternada
(ou equivalente, up to sinal) é convergente.
Explicação dos itens:
-
garante que os sinais da série realmente alternam e que . - Monotonia (não crescente) permite comparar blocos de dois termos consecutivos e obter monotonia das subsequências de somas par/ímpar.
-
é necessário: se os termos não tendem a zero, a série não pode convergir.
Observação sobre “decrescente”: o critério exige monoticidade a partir de algum
(ou seja, eventual monotonicidade). Exigir monotonicidade estrita desde
é mais forte, mas não prejudica a validade do critério.
Passo 3
Preparação do argumento técnico (esqueleto da prova): vou transformar a série dada numa forma padrão do critério (diferença de sinal por um fator
não altera convergência) e mostrar de forma elementar por que as subsequências de somas par e ímpar convergem para o mesmo limite.
Seja
Note que
, portanto a convergência de uma implica na convergência da outra. Assim posso aplicar o raciocínio padrão do critério de Leibniz sem perda de generalidade.
Defina as subsequências de somas par e ímpar:
Passo 4
Mostrando monotonicidade das subsequências:
Calcule a diferença entre dois pares consecutivos:
Como
e
, obtemos
Pela hipótese de decrescimento
, então
, logo
Assim
é uma sequência não crescente (monótona decrescente).
Agora calcule a diferença entre dois ímpares consecutivos:
Pela hipótese de decrescimento
, então
, logo
Assim
é uma sequência não decrescente (monótona crescente).
Passo 5
Mostrando que as duas subsequências são limitadas uma pela outra e que a diferença entre elas tende a zero:
Observe que para todo
,
ou seja
. Portanto, cada termo ímpar é menor ou igual ao termo par correspondente; isso mostra que a subsequência crescente
é limitada superiormente por
, e a subsequência decrescente
é limitada inferiormente por
. Logo ambas são monotônicas e limitadas, portanto convergentes (teorema de convergência de sequência monotônica).
Além disso,
Pela hipótese
, segue que
Como
existe (remo de uma sequência monótona limitada) e
existe, e a diferença entre seus termos tende a zero, as duas subsequências têm o mesmo limite. Portanto a sequência total de somas parciais
converge.
Passo 6
Conclusão e observações finais didáticas:
-
Conclusão: a afirmação dada é Verdadeira. As hipóteses
, decrescente e garantem a convergência da série alternada, por aplicação do critério de Leibniz como demonstrado. -
Observações úteis para prova/exame:
- A monotonicidade não precisa valer para todos os
, basta que valha a partir de algum índice (eventual monotonicidade). Na prática nos exames muitas vezes aceitam "decrescente a partir de algum ". - A condição
é necessária: se , a série diverge (os termos não tendem a zero). - Monotonicidade não é necessária para convergência em todos os casos — existem séries alternadas convergentes com
não monotônica —, mas a monotonicidade é uma hipótese simples e suficiente (e muito usada em prova). - A prova do critério usa exatamente a ideia das subsequências de somas par/ímpar serem monotônicas e “encavalçadas”, e que sua diferença é
.
- A monotonicidade não precisa valer para todos os
Resposta
V — Verdadeira. Justificativa: é o critério de Leibniz; com
,
decrescente e
as subsequências de somas par e ímpar são monotônicas e limitadas, têm a mesma diferença que tende a zero, logo a série converge.