4 (Rolamento, torque e quantidade de movimento angular - 2,5 pontos) Um menino de massa
está parado ao lado de um carrocel de massa
e raio
. O carrocel gira livremente com velocidade angular
. Atraido pelo brinquedo, o menino salta radialmente (em direção ao centro), passando a girar junto com o carrocel, na sua borda. Considere o carrocel como um disco uniforme (
), Calcule:
(a) 0.5 ) o módulo do momento angular do carrocel antes do salto do menino;
(b) 1,0 ) a velocidade angular do conjunto após o salto do menino;
(c)
a variaçāo da energia cinética do sistema e interprete o resultado.
(a) 0.5 ) o módulo do momento angular do carrocel antes do salto do menino;
(b) 1,0 ) a velocidade angular do conjunto após o salto do menino;
(c)
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (a) o módulo do momento angular do carrossel antes do menino saltar; (b) a velocidade angular do conjunto carrossel+menino após o salto; (c) a variação da energia cinética do sistema e interpretação dessa variação.
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
O carrossel é considerado um disco uniforme com momento de inércia em relação ao seu centro dado por
O menino salta e passa a girar junto com o carrossel na borda (podemos tratar o menino como uma massa pontual a uma distância
do eixo). O carrossel gira livremente e não há torques externos significativos que atuem no conjunto durante o salto (hipótese usada para conservar o momento angular).
Passo 2
Explicação e cálculo do momento de inércia do disco (carrossel).
Conceito rápido: o momento de inércia
mede “quanta dificuldade” um corpo tem para mudar seu estado de rotação; para um disco uniforme de massa
e raio
girando em torno do eixo central vale
Agora calculamos numericamente:
Primeiro
. Então
Passo 3
Cálculo do momento angular inicial do carrossel (resposta da parte (a)).
Conceito rápido: o momento angular de um corpo rígido em rotação é dado por
onde
é o momento de inércia e
é a velocidade angular. Para o carrossel antes do salto:
Fazendo a multiplicação:
(Isto responde a parte (a): módulo do momento angular inicial.)
Passo 4
Momento de inércia do menino tratado como massa pontual na borda.
Conceito rápido: o momento de inércia de uma massa pontual
situada a uma distância
do eixo é
Aqui o menino fica na borda, portanto
. Calculamos:
Passo 5
Momento de inércia total após o salto e conservação do momento angular para achar
final (resposta da parte (b)).
Como não há torque externo apreciável, o momento angular total se conserva:
O momento de inércia total depois que o menino está na borda é
Usando conservação
, isolamos
:
Passo 6
Fórmula da energia cinética de rotação e cálculo das energias inicial e final.
Conceito rápido: a energia cinética rotacional de um corpo rígido é
onde
é o momento de inércia do sistema e
sua velocidade angular.
Energia cinética inicial (apenas o carrossel girando):
Calculemos passo a passo:
. Então
Energia cinética final (carrossel + menino girando juntos com
):
Calculemos:
. Então
Passo 7
Variação da energia cinética e interpretação (resposta da parte (c)).
A variação da energia cinética é
Interpretação física: apesar do momento angular se conservar, a energia cinética diminui em
. Isso acontece porque o processo de o menino pular e “entrar” na rotação não é um processo totalmente conservativo — há forças internas e fricção entre o menino e o carrossel, dissipação em calor, som e conversões de energia química do próprio menino (músculos) para ajustar o movimento relativo. Portanto, a energia mecânica rotacional do sistema diminui, enquanto a quantidade de movimento angular permanece a mesma.
Força motivadora: esse tipo de queda de energia é típico em colisões ou acople “inelástico” em rotação — o momento angular se conserva se não há torque externo, mas a energia mecânica pode não se conservar.
Resposta
(a)
(b)
(c)
. Interpretação: a energia cinética diminuiu; a diferença foi dissipada por forças não conservativas (atrito, calor, trabalho interno durante o acoplamento do menino ao carrossel).