4 (Rolamento, torque e quantidade de movimento angular - 2,5 pontos) Um menino de massa m=40,0 \mathrm{~kg} está parado ao lado de um carrocel de massa M=400 \mathrm{~kg} e raio R=3,5 \mathrm{~m}. O carrocel gira livremente com velocidade angular \omega_{0}=0,600 \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Atraido pelo brinquedo, o menino salta radialmente (em direção ao centro), passando a girar junto com o carrocel, na sua borda. Considere o carrocel como um disco uniforme ( I_{C M}=\frac{M R^{2}}{2} ), Calcule:
(a) 0.5 ) o módulo do momento angular do carrocel antes do salto do menino;
(b) 1,0 ) a velocidade angular do conjunto após o salto do menino;
(c) (1,0) a variaçāo da energia cinética do sistema e interprete o resultado.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) o módulo do momento angular do carrossel antes do menino saltar; (b) a velocidade angular do conjunto carrossel+menino após o salto; (c) a variação da energia cinética do sistema e interpretação dessa variação.
Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
m=40,0\\ \mathrm{kg}
M=400\\ \mathrm{kg}
R=3,5\\ \mathrm{m}
\omega_{0}=0,600\\ \mathrm{rad/s}
O carrossel é considerado um disco uniforme com momento de inércia em relação ao seu centro dado por
I_{CM}=\frac{M R^{2}}{2}.
O menino salta e passa a girar junto com o carrossel na borda (podemos tratar o menino como uma massa pontual a uma distância R do eixo). O carrossel gira livremente e não há torques externos significativos que atuem no conjunto durante o salto (hipótese usada para conservar o momento angular).

Passo 2

Explicação e cálculo do momento de inércia do disco (carrossel).
Conceito rápido: o momento de inércia I mede “quanta dificuldade” um corpo tem para mudar seu estado de rotação; para um disco uniforme de massa M e raio R girando em torno do eixo central vale
I_{CM}=\frac{M R^{2}}{2}.
Agora calculamos numericamente:
I_{CM}=\frac{400\cdot(3,5)^{2}}{2}.
Primeiro (3,5)^{2}=12,25. Então
I_{CM}=\frac{400\cdot12,25}{2}=\frac{4900}{2}=2450\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 3

Cálculo do momento angular inicial do carrossel (resposta da parte (a)).
Conceito rápido: o momento angular de um corpo rígido em rotação é dado por
L=I\omega,
onde I é o momento de inércia e \omega é a velocidade angular. Para o carrossel antes do salto:
L_{i}=I_{CM}\,\omega_{0}=2450\cdot0,600.
Fazendo a multiplicação:
L_{i}=1470\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}.
(Isto responde a parte (a): módulo do momento angular inicial.)

Passo 4

Momento de inércia do menino tratado como massa pontual na borda.
Conceito rápido: o momento de inércia de uma massa pontual m situada a uma distância r do eixo é
I_{\text{ponto}}=m r^{2}.
Aqui o menino fica na borda, portanto r=R. Calculamos:
I_{m}=mR^{2}=40,0\cdot(3,5)^{2}=40,0\cdot12,25=490\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.

Passo 5

Momento de inércia total após o salto e conservação do momento angular para achar \omega final (resposta da parte (b)).
Como não há torque externo apreciável, o momento angular total se conserva:
L_{i}=L_{f}.
O momento de inércia total depois que o menino está na borda é
I_{\text{total}}=I_{CM}+I_{m}=2450+490=2940\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
Usando conservação L_{i}=I_{\text{total}}\omega_{f}, isolamos \omega_{f}:
\omega_{f}=\frac{L_{i}}{I_{\text{total}}}=\frac{1470}{2940}=0,500\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Fórmula da energia cinética de rotação e cálculo das energias inicial e final.
Conceito rápido: a energia cinética rotacional de um corpo rígido é
K=\frac{1}{2}I\omega^{2},
onde I é o momento de inércia do sistema e \omega sua velocidade angular.
Energia cinética inicial (apenas o carrossel girando):
K_{i}=\frac{1}{2}I_{CM}\omega_{0}^{2}=\frac{1}{2}\cdot2450\cdot(0,600)^{2}.
Calculemos passo a passo: (0,600)^{2}=0,360. Então
K_{i}=\frac{1}{2}\cdot2450\cdot0,360=1225\cdot0,360=441\\ \mathrm{J}.
Energia cinética final (carrossel + menino girando juntos com \omega_{f}):
K_{f}=\frac{1}{2}I_{\text{total}}\omega_{f}^{2}=\frac{1}{2}\cdot2940\cdot(0,500)^{2}.
Calculemos: (0,500)^{2}=0,250. Então
K_{f}=\frac{1}{2}\cdot2940\cdot0,250=1470\cdot0,250=367,5\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Variação da energia cinética e interpretação (resposta da parte (c)).
A variação da energia cinética é
\Delta K=K_{f}-K_{i}=367,5-441=-73,5\\ \mathrm{J}.
Interpretação física: apesar do momento angular se conservar, a energia cinética diminui em 73,5\\ \mathrm{J}. Isso acontece porque o processo de o menino pular e “entrar” na rotação não é um processo totalmente conservativo — há forças internas e fricção entre o menino e o carrossel, dissipação em calor, som e conversões de energia química do próprio menino (músculos) para ajustar o movimento relativo. Portanto, a energia mecânica rotacional do sistema diminui, enquanto a quantidade de movimento angular permanece a mesma.
Força motivadora: esse tipo de queda de energia é típico em colisões ou acople “inelástico” em rotação — o momento angular se conserva se não há torque externo, mas a energia mecânica pode não se conservar.

Resposta

(a) L_{i}=1470\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}/s}
(b) \omega_{f}=0,500\\ \mathrm{rad/s}
(c) \Delta K=K_{f}-K_{i}=-73,5\\ \mathrm{J}. Interpretação: a energia cinética diminuiu; a diferença foi dissipada por forças não conservativas (atrito, calor, trabalho interno durante o acoplamento do menino ao carrossel).

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