Encontre os valores extremos locais de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar os valores extremos locais.
Informações relevantes que temos:
está definida para todos os pares
.
O que precisamos encontrar:
Informações relevantes que temos:
O que precisamos encontrar:
- todos os pontos críticos (onde as derivadas parciais simultaneamente se anulam), e
- classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela (ou dizer se o teste é inconclusivo).
Passo 2
Método: procuramos pontos críticos resolvendo
. Vou explicar o que são as derivadas parciais e calculá‑las passo a passo.
O que é derivada parcial?
-
é a derivada de em relação a mantendo fixo. -
é a derivada de em relação a mantendo fixo.
Agora calculo as derivadas parciais explicitamente.
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
- Derivando em relação a
: os termos que dependem de são e . Derivada de em é . Derivada de em (com tratado como constante) é . Então
- Derivando em relação a
: os termos que dependem de são , e . Derivada de é . Derivada de é . Derivada de em é . Portanto
Passo 3
Agora resolvemos o sistema
Substituindo as expressões encontradas:
Podemos dividir por
(não zero) e obter
Da primeira equação vem
. Substituo na segunda:
Fatorando:
Como
, os pontos críticos são
Passo 4
Para classificar esses pontos usamos o teste das segundas derivadas (Hessiana). Vou explicar a ideia: calculamos as segundas derivadas parciais
e o discriminante
Regras de classificação (para funções de duas variáveis):
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Agora calculo as segundas derivadas a partir de
e
:
De :
De
De
:
(Observação:
coincide com
, como deve ser para funções suaves.)
O discriminante geral vale
Faço as contas:
logo
Passo 5
Agora avalio
e
em cada ponto crítico e classifico.
- Ponto
: aqui .
Como
, pelo teste temos um ponto de sela em
. Para referência, o valor da função é
- Ponto
: aqui .
Além disso
. Como
e
, concluímos que
é um máximo local. O valor da função nesse ponto é
Resposta
Ponto de sela:
.
Máximo local: com valor
.
Máximo local: