Encontre os valores extremos locais de
f(x, y)=3 y^{2}-2 y^{3}-3 x^{2}+6 x y

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=3y^{2}-2y^{3}-3x^{2}+6xy
e pede para encontrar os valores extremos locais.
Informações relevantes que temos:
\,f está definida para todos os pares (x,y)\in\mathbb{R}^{2}.
O que precisamos encontrar:
  • todos os pontos críticos (onde as derivadas parciais simultaneamente se anulam), e
  • classificar cada ponto crítico como máximo local, mínimo local ou ponto de sela (ou dizer se o teste é inconclusivo).

Passo 2

Método: procuramos pontos críticos resolvendo \nabla f=(f_{x},f_{y})=(0,0). Vou explicar o que são as derivadas parciais e calculá‑las passo a passo.
O que é derivada parcial?
  • \,f_{x}(x,y) é a derivada de f em relação a x mantendo y fixo.
  • \,f_{y}(x,y) é a derivada de f em relação a y mantendo x fixo.
Agora calculo as derivadas parciais explicitamente.
Derivando termo a termo:
f(x,y)=3y^{2}-2y^{3}-3x^{2}+6xy.
  • Derivando em relação a x: os termos que dependem de x são -3x^{2} e 6xy. Derivada de -3x^{2} em x é -6x. Derivada de 6xy em x (com y tratado como constante) é 6y. Então
f_{x}(x,y)=-6x+6y=6(y-x).
  • Derivando em relação a y: os termos que dependem de y são 3y^{2}, -2y^{3} e 6xy. Derivada de 3y^{2} é 6y. Derivada de -2y^{3} é -6y^{2}. Derivada de 6xy em y é 6x. Portanto
f_{y}(x,y)=6y-6y^{2}+6x=6(x+y-y^{2}).

Passo 3

Agora resolvemos o sistema
f_{x}(x,y)=0,\qquad f_{y}(x,y)=0.
Substituindo as expressões encontradas:
6(y-x)=0,\qquad 6(x+y-y^{2})=0.
Podemos dividir por 6 (não zero) e obter
y-x=0,\qquad x+y-y^{2}=0.
Da primeira equação vem \,y=x. Substituo na segunda:
x+x-x^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x-x^{2}=0.
Fatorando:
x(2-x)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0 \\ \text{ou}\\ x=2.
Como y=x, os pontos críticos são
(0,0)\quad\text{e}\quad(2,2).

Passo 4

Para classificar esses pontos usamos o teste das segundas derivadas (Hessiana). Vou explicar a ideia: calculamos as segundas derivadas parciais
f_{xx},\quad f_{yy},\quad f_{xy}=f_{yx},
e o discriminante
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\bigl(f_{xy}(x,y)\bigr)^{2}.
Regras de classificação (para funções de duas variáveis):
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então máximo local.
  • Se D<0 então ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Agora calculo as segundas derivadas a partir de f_{x} e f_{y}:
De f_{x}=6(y-x):
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}6(y-x)=-6,\qquad f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}6(y-x)=6.
De f_{y}=6(x+y-y^{2}):
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}6(x+y-y^{2})=6(1-2y)=6-12y.
(Observação: f_{xy}=6 coincide com f_{yx}, como deve ser para funções suaves.)
O discriminante geral vale
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=(-6)(6-12y)-6^{2}.
Faço as contas:
(-6)(6-12y)= -36+72y,
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D(x,y)=-36+72y-36=72y-72=72(y-1).

Passo 5

Agora avalio D e f_{xx} em cada ponto crítico e classifico.
  1. Ponto (0,0): aqui y=0.
D(0,0)=72(0-1)=72(-1)=-72<0.
Como D<0, pelo teste temos um ponto de sela em (0,0). Para referência, o valor da função é
f(0,0)=0.
  1. Ponto (2,2): aqui y=2.
D(2,2)=72(2-1)=72>0.
Além disso f_{xx}=-6<0. Como D>0 e f_{xx}<0, concluímos que (2,2) é um máximo local. O valor da função nesse ponto é
f(2,2)=3\cdot 2^{2}-2\cdot 2^{3}-3\cdot 2^{2}+6\cdot 2\cdot 2=8.

Resposta

Ponto de sela: (0,0).
Máximo local: (2,2) com valor 8.

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