Para cada afirmação a seguir, indique se é verdadeira (V) ou falsa (F).
Se
e
existem, então a função
é contínua em
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a afirmação “Se as derivadas parciais $ f_{x}(a, b) $ e $ f_{y}(a, b) $ existem, então a função $ f $ é contínua em $ (a, b) $” é verdadeira ou falsa. Estamos no conteúdo de cálculo multivariável, trabalhando com derivadas parciais e continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender o que são derivadas parciais e o que significa uma função ser contínua nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial $ f_{x}(a, b) $ é a taxa de variação da função $ f $ na direção do eixo $ x $ em torno do ponto $ (a, b) $. Similarmente, $ f_{y}(a, b) $ é a taxa de variação na direção do eixo $ y $.
Passo 3
Agora, sobre continuidade: uma função $ f $ é contínua em $ (a, b) $ se o limite de $ f(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (a, b) $ for igual ao valor de $ f(a, b) $. Básicamente, não tem “saltos” ou “buracos” na função nesse ponto.
Passo 4
A afirmação sugere que se existem as derivadas parciais em $ (a, b) $, então a função deve ser contínua ali. Mas, na verdade, isso não é sempre verdade. Em cálculo de funções de várias variáveis, é possível ter derivadas parciais que existem em um ponto, mas a função não é contínua nesse ponto. Ou seja, a existência das derivadas parciais não garante a continuidade da função.
Passo 5
Para ilustrar, pense na função definida por:
As derivadas parciais em $ (0,0) $ existem, mas a função não é contínua em $ (0,0) $.
Resposta
F (Falsa)