Seja uma função real descrita por f(x, y)=raizx+raiz16-x^2-y^2.
Calcule a inclinação da reta tangente à superfície f(x, y) no ponto [3, raiz2, f(3, raiz2)] e na direção do vetor (raiz3, 1).

Passo 1

A questão define a função real
f(x,y)=raizx+raiz16 - x^2 - y^2,
o ponto em que vamos trabalhar é P=(3,raiz2) (logo a altura é f(3,raiz2)) e a direção dada pelo vetor v=(raiz3,1). O que pedem é a inclinação da reta tangente à superfície em P na direção de v, isto é a derivada direcional de f em P na direção de v.

Passo 2

Para calcular essa inclinação vamos usar a derivada direcional
D uf(P)=nabla f(P)cdot u, onde nabla f é o gradiente de f e u é o vetor de direção normalizado.

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para achar as derivadas parciais:
partial fpartial x(x,y)=12raizx-xraiz16 - x^2 - y^2,
partial fpartial y(x,y)=-yraiz16 - x^2 - y^2

Passo 4

Agora avaliamos essas parciais em P=(3,raiz2). Como 16-3^2-(raiz2)^2=5, temos
partial fpartial x(3,raiz2)=12raiz3-3raiz5, partial fpartial y(3,raiz2)=-raiz2raiz5

Passo 5

Precisamos do vetor unitário na direção de v=(raiz3,1). O comprimento de v é |v|=raiz(raiz3)^2+1^2=2, então
u=l(raiz32,12r)

Passo 6

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar
D uf(P)=l(12raiz3-3raiz5r)raiz32+l(-raiz2raiz5r)12 =14-3raiz3+raiz22raiz5

Resposta

14-3raiz3+raiz22raiz5

Exercícios relacionados