Para cada afirmação a seguir, indique se é verdadeira (V) ou falsa (F).
Se
, então
.
Se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão! A gente tem a função $ f(x, y) = \ln y $ e precisa verificar se o gradiente dela, que é $ \nabla f(x, y) $, é igual a $ \frac{1}{y} $. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o gradiente e como calcular derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente $ \nabla f(x, y) $ é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação às suas variáveis. No caso de duas variáveis, ele é dado por:
Então, precisamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
Como $ y $ é tratado como uma constante quando derivamos em relação a $ x $, a derivada de $ \ln y $ em relação a $ x $ é 0.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Essa é uma derivada padrão da função logarítmica.
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar o gradiente:
Isso significa que o gradiente é um vetor com duas componentes: a primeira é 0 e a segunda é $ \frac{1}{y} $.
Resposta
A afirmação é Falsa. O gradiente $ \nabla f(x, y) $ é $ \left( 0, \frac{1}{y} \right) $, não apenas $ \frac{1}{y} $.