Seja a função real de duas variáveis f(x, y)=ln (x^2-2 y).
Determine as inclinaçães máximas à superfície f(x, y) nos pontos dos itens (b) e (d) e em quais direçães isso ocorre.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função de duas variáveis $ f(x, y) = \ln(x^{2} - 2y) $. A tarefa é encontrar as inclinações máximas na superfície dessa função nos pontos específicos dos itens (b) e (d) e descobrir em quais direções elas ocorrem. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a inclinação máxima numa superfície. A inclinação máxima em um ponto ocorre na direção do gradiente da função naquele ponto. O gradiente é um vetor que aponta na direção em que a função cresce mais rapidamente, e a sua magnitude nos dá a taxa de crescimento nessa direção.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função $ f(x, y) $. O gradiente é composto pelas derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. Ou seja:
f(x, y)
Vamos calcular cada derivada:

Passo 4

Calculando a derivada parcial em relação a $ x $:
x

Passo 5

Agora, a derivada parcial em relação a $ y $:
y

Passo 6

Então, o gradiente fica:
nabla f(x, y) = ( 2xx^2 - 2y, -2x^2 - 2y )
A inclinação máxima no ponto $ (x, y) $ será a magnitude desse gradiente, que é:
(x, y)

Passo 7

Agora, para saber em quais direções essas inclinações máximas ocorrem, basta olhar para o próprio gradiente. A direção da inclinação máxima é a direção do vetor gradiente, ou seja, na direção de:
( 2xx^2 - 2y, -2x^2 - 2y )
Isso indica que a inclinação máxima ocorre seguindo a linha de maior crescimento da função no ponto considerado.

Passo 8

Para finalizar, basta substituir os pontos dos itens (b) e (d) na expressão da inclinação máxima e na direção do gradiente que acabamos de encontrar. Infelizmente, sem os pontos específicos desses itens, não conseguimos dar uma resposta numérica final, mas o procedimento é exatamente esse!

Resposta

A inclinação máxima na superfície $ f(x, y) = \ln(x^{2} - 2y) $ em qualquer ponto dos itens (b) e (d) é dada por $ \frac{2\sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} - 2y} $, ocorrendo na direção do gradiente $ \left( \frac{2x}{x^{2} - 2y}, \frac{-2}{x^{2} - 2y} \right) $.

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