Seja a função real em duas variáveis cuja fórmula é dada por f(x, y)=x^2+y^2+x y^2+2. Encontre os pontos críticos da função e classifique-os.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} + xy^{2} + 2 $. Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos críticos dessa função e classificá-los. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariable, especificamente o cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Eles são os pontos onde as derivadas parciais da função em relação a cada variável são iguais a zero ou não existem. No nosso caso, vamos calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
f
E agora, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
x

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
2x + y^2 = 0 (1)
2y + 2xy = 0 (2)

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações formado. Primeiro, da equação (2):
2y + 2xy = 0 implies 2y(1 + x) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ y = 0 $
  2. $ 1 + x = 0 $ ou seja, $ x = -1 $

Passo 6

Vamos analisar cada caso:
Caso 1: $ y = 0 $
Substituindo na equação (1):
y = 0
Então, temos o ponto crítico $ (0, 0) $.
Caso 2: $ x = -1 $
Substituindo na equação (1):
2x + (0)^2 = 0 implies 2x = 0 implies x = 0
Então, temos dois pontos críticos adicionais: $ (-1, \sqrt{2}) $ e $ (-1, -\sqrt{2}) $.

Passo 7

Agora que encontramos os pontos críticos, vamos classificá-los usando o teste da segunda derivada. Para isso, vamos calcular as derivadas segundas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 2 + 2x
fxy = partial^2 fpartial x partial y = 2y
O determinante da matriz Hessiana é dado por:
D = fxx cdot fyy - (fxy)^2

Passo 8

Vamos avaliar $ D $ para cada ponto crítico.
Para o ponto (0, 0):
D
fxx = 2
fyy = 2 + 2(0) = 2
fxy = 2(0) = 0
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, o ponto $ (0, 0) $ é um mínimo local.
Para os pontos (-1, $ \sqrt{2} D = 2 cdot 2 - 0^2 = 4 > 0 \sqrt{2} $):
D > 0
fxx > 0
(0, 0)
raiz2
Como $ D < 0 $, esses pontos são selas (ou pontos de sela), não sendo máximos nem mínimos.

Resposta

Os pontos críticos da função $ f(x, y) $ são:
  • $ (0, 0) $ que é um mínimo local;
  • $ (-1, \sqrt{2}) $ e $ (-1, -\sqrt{2}) $ que são pontos de sela.

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