Seja a função real em duas variáveis cuja fórmula é dada por
. Encontre os pontos críticos da função e classifique-os.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = x^{2} + y^{2} + xy^{2} + 2 $. Nosso objetivo aqui é encontrar os pontos críticos dessa função e classificá-los. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariable, especificamente o cálculo de derivadas parciais e o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Eles são os pontos onde as derivadas parciais da função em relação a cada variável são iguais a zero ou não existem. No nosso caso, vamos calcular as derivadas parciais de $ f(x, y) $ em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
E agora, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Passo 4
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações formado. Primeiro, da equação (2):
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ y = 0 $
- $ 1 + x = 0 $ ou seja, $ x = -1 $
Passo 6
Vamos analisar cada caso:
Caso 1: $ y = 0 $
Substituindo na equação (1):
Então, temos o ponto crítico $ (0, 0) $.
Caso 2: $ x = -1 $
Substituindo na equação (1):
Então, temos dois pontos críticos adicionais: $ (-1, \sqrt{2}) $ e $ (-1, -\sqrt{2}) $.
Passo 7
Agora que encontramos os pontos críticos, vamos classificá-los usando o teste da segunda derivada. Para isso, vamos calcular as derivadas segundas:
O determinante da matriz Hessiana é dado por:
Passo 8
Vamos avaliar $ D $ para cada ponto crítico.
Para o ponto (0, 0):
Como $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $, o ponto $ (0, 0) $ é um mínimo local.
Para os pontos (-1, $ \sqrt{2}
\sqrt{2} $):
Como $ D < 0 $, esses pontos são selas (ou pontos de sela), não sendo máximos nem mínimos.
Resposta
Os pontos críticos da função $ f(x, y) $ são:
- $ (0, 0) $ que é um mínimo local;
- $ (-1, \sqrt{2}) $ e $ (-1, -\sqrt{2}) $ que são pontos de sela.