(a) ( 5 pontos) Escreva os vetores (1,0,0) e ( 0,1,0 ) como combinação linear de ( 0,0,1 ), ( 0,1,2 ) e (1,2,3). Calcule T(1,0,0) e T(0,1,0).
(b) ( 10 pontos) Escreva a matriz da transformação linear T na base canônica de \mathbb{R}^{3}. Em função do parâmetro h, determine uma base para a imagem de T.
(c) (5 pontos) Determine o(s) valor(es) de h, se existirem, que tornam T injetora.
(d) (5 pontos) Determine o(s) valor(es) de h, se existirem, que tornam T sobrejetora.
Passo 1
O enunciado fornece uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4 e os valores de T em três vetores. Vou organizar claramente as informações e o que é pedido.
Dados (peguei estes vetores do enunciado):
v_1=(0,0,1) e T(v_1)=\bigl(1,0,h^{2}-4,h-2\bigr).
v_2=(0,1,2) e T(v_2)=\bigl(3,-1,2h^{2}-8,2h-4\bigr).
v_3=(1,2,3) e T(v_3)=\bigl(6,-2,3h^{2}-12,3h-6\bigr).
O enunciado pede:
(a) Escrever (1,0,0) e (0,1,0) como combinação linear de v_1,v_2,v_3 e calcular T(1,0,0) e T(0,1,0).
(b) Escrever a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^3 e, em função de h, determinar uma base da imagem de T.
(c) Determinar os valores de h (se existirem) que tornam T injetora.
(d) Determinar os valores de h (se existirem) que tornam T sobrejetora.
A partir daqui vou resolver passo a passo, mostrando a técnica usada em cada etapa.
Passo 2
Escrever [(1,0,0)) como combinação linear de v_1,v_2,v_3.
Procuramos escalares a,b,c tais que
a v_1 + b v_2 + c v_3 = (1,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada (lembre: v_1=(0,0,1), v_2=(0,1,2), v_3=(1,2,3)):
Montar a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^3.
Lembrete: a matriz de T na base canônica tem como colunas T(e_1),T(e_2),T(e_3) onde e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1).
Já calculamos T(e_1)=(1,0,0,0) e T(e_2)=(1,-1,0,0). Também T(e_3)=T(v_1)=(1,0,h^2-4,h-2) (fornecido).
Portanto a matriz A (de tamanho 4\times3) é, coluna a coluna,
Das equações obtemos \beta=0\] e \(\alpha + \gamma = 0\Rightarrow \alpha=-\gamma. As últimas duas equações exigem \gamma(h^2-4)=0 e \gamma(h-2)=0.
Duas possibilidades:
Se \gamma=0 então \alpha=0 e \beta=0. Então a única combinação é trivial; isto diz que \{c_1,c_2,c_3\} é linearmente independente e \operatorname{rank}(A)=3.
Se \gamma\neq0 então precisamos que h^2-4=0 e h-2=0 simultaneamente. Isso só acontece para h=2. Para h=2 temos h^2-4=0 e h-2=0, então existem combinações não-triviais (por exemplo escolher \gamma=1 e \alpha=-1, \beta=0 dá -c_1 + c_3=0), portanto \operatorname{rank}(A)=2.
Conclusão:
Para h=2: c_3=c_1 e as colunas independentes são c_1,c_2. Uma base da imagem é \{c_1,c_2\}=\bigl\{(1,0,0,0),(1,-1,0,0)\bigr\}.
Para h\neq2: \{c_1,c_2,c_3\} é linearmente independente e uma base da imagem é \{c_1,c_2,c_3\}.
(Obs.: o caso h=-2 dá h^2-4=0 mas h-2\neq0, então \gamma deve ser 0 e o conjunto permanece independente; logo só h=2 causa dependência.)]
Passo 7
Determinar quando T é injetora.
Teorema/applicação prática: para uma transformação linear de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^4, T é injetora exatamente quando \operatorname{rank}(A)=3 (isto garante núcleo trivial). Pelas contas anteriores:
\operatorname{rank}(A)=3 para todo h\neq2.
\operatorname{rank}(A)=2 quando h=2.
Portanto T é injetora se, e somente se, h\neq2.
Passo 8
Determinar quando T é sobrejetora.
Uma transformação \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4 só pode ser sobrejetora se \operatorname{rank}(A)=4. Mas \operatorname{rank}(A)\le\min(3,4)=3. Logo é impossível ter \operatorname{rank}(A)=4. Conclusão: para nenhum valor de h a transformação é sobrejetora.