Considere h \in \mathbb{R}. Seja T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} uma transformação linear tal que
\begin{aligned} T(0,0,1) & =\left(1,0, h^{2}-4, h-2\right), \quad T(0,1,2)=\left(3,-1,2 h^{2}-8,2 h-4\right), \\\ \text { e } \quad T(1,2,3) & =\left(6,-2,3 h^{2}-12,3 h-6\right) . \end{aligned}
(a) ( 5 pontos) Escreva os vetores (1,0,0) e ( 0,1,0 ) como combinação linear de ( 0,0,1 ), ( 0,1,2 ) e (1,2,3). Calcule T(1,0,0) e T(0,1,0).
(b) ( 10 pontos) Escreva a matriz da transformação linear T na base canônica de \mathbb{R}^{3}. Em função do parâmetro h, determine uma base para a imagem de T.
(c) (5 pontos) Determine o(s) valor(es) de h, se existirem, que tornam T injetora.
(d) (5 pontos) Determine o(s) valor(es) de h, se existirem, que tornam T sobrejetora.

Passo 1

O enunciado fornece uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4 e os valores de T em três vetores. Vou organizar claramente as informações e o que é pedido.
Dados (peguei estes vetores do enunciado):
  • v_1=(0,0,1) e T(v_1)=\bigl(1,0,h^{2}-4,h-2\bigr).
  • v_2=(0,1,2) e T(v_2)=\bigl(3,-1,2h^{2}-8,2h-4\bigr).
  • v_3=(1,2,3) e T(v_3)=\bigl(6,-2,3h^{2}-12,3h-6\bigr).
O enunciado pede:
(a) Escrever (1,0,0) e (0,1,0) como combinação linear de v_1,v_2,v_3 e calcular T(1,0,0) e T(0,1,0).
(b) Escrever a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^3 e, em função de h, determinar uma base da imagem de T.
(c) Determinar os valores de h (se existirem) que tornam T injetora.
(d) Determinar os valores de h (se existirem) que tornam T sobrejetora.
A partir daqui vou resolver passo a passo, mostrando a técnica usada em cada etapa.

Passo 2

Escrever [(1,0,0)) como combinação linear de v_1,v_2,v_3.
Procuramos escalares a,b,c tais que
a v_1 + b v_2 + c v_3 = (1,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada (lembre: v_1=(0,0,1), v_2=(0,1,2), v_3=(1,2,3)):
a(0,0,1)+b(0,1,2)+c(1,2,3)=(c,\; b+2c,\; a+2b+3c).
Igualando a (1,0,0) obtemos o sistema:
\begin{cases} c = 1,\\[4pt] b + 2c = 0,\\[4pt] a + 2b + 3c = 0. \end{cases}
Resolve-se passo a passo:
  • De c=1\] temos \(c=1.
  • Então b + 2\cdot1 = 0\Rightarrow b=-2.
  • Finalmente a + 2(-2) + 3(1)=0\Rightarrow a -4 +3=0\Rightarrow a=1.
Portanto
(1,0,0)=1\cdot v_1 + (-2)\cdot v_2 + 1\cdot v_3.]

Passo 3

Escrever [(0,1,0)) como combinação linear de v_1,v_2,v_3.
Procuramos a,b,c tais que
a v_1 + b v_2 + c v_3 = (0,1,0).
Como antes, a combinação gera (c,\; b+2c,\; a+2b+3c). Igualando a (0,1,0) gera:
\begin{cases} c = 0,\\[4pt] b + 2c = 1,\\[4pt] a + 2b + 3c = 0. \end{cases}
Resolver:
  • De c=0\] segue \(c=0.
  • Então b + 0 = 1\Rightarrow b=1.
  • Então a + 2\cdot1 + 0 = 0\Rightarrow a=-2.
Logo
(0,1,0)=(-2)\cdot v_1 + 1\cdot v_2 + 0\cdot v_3.]

Passo 4

Usar linearidade para calcular T(1,0,0) e T(0,1,0).
A propriedade usada: para quaisquer escalares \alpha,\beta,\gamma,
T(\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3)=\alpha T(v_1)+\beta T(v_2)+\gamma T(v_3).
Para (1,0,0)=v_1-2v_2+v_3:
T(1,0,0)=T(v_1)-2T(v_2)+T(v_3).
Agora calculo componente a componente (peguei os T(v_i) do enunciado):
  • Componente 1: 1 -2\cdot 3 + 6 = 1 -6 +6 = 1.
  • Componente 2: 0 -2\cdot(-1) + (-2) = 0 +2 -2 = 0.
  • Componente 3: (h^2-4)-2(2h^2-8)+(3h^2-12).
    Calcular: h^2-4 -4h^2 +16 +3h^2 -12 = 0 (os termos em h^2 e constantes cancelam).
  • Componente 4: (h-2)-2(2h-4)+(3h-6).
    Calcular: h-2 -4h +8 +3h -6 = 0.
Logo
T(1,0,0)=(1,0,0,0).
Para (0,1,0)=-2v_1+v_2:
T(0,1,0)=-2T(v_1)+T(v_2).
Calculo componente a componente:
  • Componente 1: -2\cdot1 + 3 = -2 + 3 = 1.
  • Componente 2: -2\cdot0 + (-1) = -1.
  • Componente 3: -2(h^2-4)+(2h^2-8) = -2h^2+8 +2h^2 -8 = 0.
  • Componente 4: -2(h-2)+(2h-4) = -2h+4 +2h -4 = 0.
Portanto
T(0,1,0)=(1,-1,0,0).

Passo 5

Montar a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^3.
Lembrete: a matriz de T na base canônica tem como colunas T(e_1),T(e_2),T(e_3) onde e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1).
Já calculamos T(e_1)=(1,0,0,0) e T(e_2)=(1,-1,0,0). Também T(e_3)=T(v_1)=(1,0,h^2-4,h-2) (fornecido).
Portanto a matriz A (de tamanho 4\times3) é, coluna a coluna,
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & h^{2}-4\\[4pt] 0 & 0 & h-2 \end{pmatrix},
ou seja, as colunas são
c_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad c_2=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad c_3=\begin{pmatrix}1\\\ 0\h^2-4\h-2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Determinar uma base para a imagem de [T) (o espaço gerado pelas colunas da matriz).
A imagem de T é o espaço gerado por \{c_1,c_2,c_3\}. Para encontrar uma base, verifico dependências lineares entre c_1,c_2,c_3.
Considere \alpha c_1+\beta c_2+\gamma c_3=0. Escrita por linhas:
\begin{cases} \alpha + \beta + \gamma = 0,\\[4pt] 0 -\beta + 0 = 0 \Rightarrow -\beta = 0 \Rightarrow \beta=0,\\[4pt] 0 + 0 + \gamma(h^2-4) = 0 \Rightarrow \gamma(h^2-4)=0,\\[4pt] 0 + 0 + \gamma(h-2) = 0 \Rightarrow \gamma(h-2)=0. \end{cases}
Das equações obtemos \beta=0\] e \(\alpha + \gamma = 0\Rightarrow \alpha=-\gamma. As últimas duas equações exigem \gamma(h^2-4)=0 e \gamma(h-2)=0.
Duas possibilidades:
  • Se \gamma=0 então \alpha=0 e \beta=0. Então a única combinação é trivial; isto diz que \{c_1,c_2,c_3\} é linearmente independente e \operatorname{rank}(A)=3.
  • Se \gamma\neq0 então precisamos que h^2-4=0 e h-2=0 simultaneamente. Isso só acontece para h=2. Para h=2 temos h^2-4=0 e h-2=0, então existem combinações não-triviais (por exemplo escolher \gamma=1 e \alpha=-1, \beta=0 -c_1 + c_3=0), portanto \operatorname{rank}(A)=2.
Conclusão:
  • Para h=2: c_3=c_1 e as colunas independentes são c_1,c_2. Uma base da imagem é \{c_1,c_2\}=\bigl\{(1,0,0,0),(1,-1,0,0)\bigr\}.
  • Para h\neq2: \{c_1,c_2,c_3\} é linearmente independente e uma base da imagem é \{c_1,c_2,c_3\}.
(Obs.: o caso h=-2 h^2-4=0 mas h-2\neq0, então \gamma deve ser 0 e o conjunto permanece independente; logo só h=2 causa dependência.)]

Passo 7

Determinar quando T é injetora.
Teorema/applicação prática: para uma transformação linear de \mathbb{R}^3 em \mathbb{R}^4, T é injetora exatamente quando \operatorname{rank}(A)=3 (isto garante núcleo trivial). Pelas contas anteriores:
  • \operatorname{rank}(A)=3 para todo h\neq2.
  • \operatorname{rank}(A)=2 quando h=2.
Portanto T é injetora se, e somente se, h\neq2.

Passo 8

Determinar quando T é sobrejetora.
Uma transformação \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4 só pode ser sobrejetora se \operatorname{rank}(A)=4. Mas \operatorname{rank}(A)\le\min(3,4)=3. Logo é impossível ter \operatorname{rank}(A)=4. Conclusão: para nenhum valor de h a transformação é sobrejetora.

Resposta

(a) (1,0,0)=1\cdot(0,0,1)-2\cdot(0,1,2)+1\cdot(1,2,3). \;T(1,0,0)=(1,0,0,0)\n
(0,1,0)=-2\cdot(0,0,1)+1\cdot(0,1,2)+0\cdot(1,2,3). \;T(0,1,0)=(1,-1,0,0)
(b) \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1&1\\[4pt]0&-1&0\\[4pt]0&0&h^{2}-4\\[4pt]0&0&h-2\end{pmatrix}.\n
Base da imagem:\n
  • Se h=2: \{(1,0,0,0),(1,-1,0,0)\}.\n
  • Se h\neq2: \{(1,0,0,0),(1,-1,0,0),(1,0,h^{2}-4,h-2)\}.
(c) T é injetora exatamente para h\neq2.
(d) Não existe h que torne T sobrejetora (nenhum h).]

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