Para cada uma das afirmações abaixo, classifique entre VERDADEIRA ou FALSA, justificando sua resposta.
(a) ( 0,5 ponto) Dado um campo de forças conservativo, existe um único caminho que minimiza o trabalho realizado por esta força, para deslocar um objeto de um ponto
até um ponto
.
(b) ( 0,5 ponto) Não existe campo vetorial
tal que
.
(c)
ponto) Se
é um campo vetorial conservativo, com componentes possuindo derivadas parciais contínuas de todas as ordens, então
.
(a) ( 0,5 ponto) Dado um campo de forças conservativo, existe um único caminho que minimiza o trabalho realizado por esta força, para deslocar um objeto de um ponto
(b) ( 0,5 ponto) Não existe campo vetorial
(c)
Passo 1
O enunciado nos dá três afirmações envolvendo campos vetoriais, cujo conteúdo principal é cálculo vetorial: (i) campos conservativos e trabalho; (ii) existência de campo a partir de um dado rotacional; (iii) condição de exatidão de um campo em
. Para resolvê-las, vamos usar:
- Em campo conservativo, o trabalho de
a independe do caminho. - Para todo campo suficientemente suave vale
. - Em domínio simplesmente conectado,
é conservativo se e somente se .
Passo 2
Analisando (a): “Dado um campo de forças conservativo, existe um único caminho que minimiza o trabalho realizado por esta força, para deslocar um objeto de um ponto
até um ponto
.”
Num campo conservativo o trabalho
Num campo conservativo o trabalho
depende apenas de
e
, não do caminho
. Logo, qualquer caminho dá o mesmo valor de trabalho, não há um único que minimize; na verdade todos são minimizadores (mesmo trabalho). Portanto a afirmação é falsa.
Passo 3
Analisando (b): “Não existe campo vetorial
tal que
.”
Se existisse, valeria . Mas
Se existisse, valeria
Isso contradiz
. Logo tal
não existe, e a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Analisando (c): “Se
é conservativo, com derivadas parciais contínuas de todas as ordens, então
.”
Num domínio simplesmente conectado, condição necessária e suficiente para ser conservativo (ou campo gradiente) é a igualdade dos mistas:
Num domínio simplesmente conectado, condição necessária e suficiente para
Portanto a afirmação é verdadeira.
Resposta
(a) FALSA
(b) VERDADEIRA
(c) VERDADEIRA
(b) VERDADEIRA
(c) VERDADEIRA