Para cada uma das afirmações abaixo, classifique entre VERDADEIRA ou FALSA, justificando sua resposta.
(a) ( 0,5 ponto) Dado um campo de forças conservativo, existe um único caminho que minimiza o trabalho realizado por esta força, para deslocar um objeto de um ponto A até um ponto B.
(b) ( 0,5 ponto) Não existe campo vetorial \vec{F} tal que \operatorname{rot} \vec{F}=x \vec{i}-y \vec{k}.
(c) (0,5 ponto) Se \vec{F}(x, y)=P(x, y) \vec{i}+Q(x, y) \vec{j} é um campo vetorial conservativo, com componentes possuindo derivadas parciais contínuas de todas as ordens, então \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}.

Passo 1

O enunciado nos dá três afirmações envolvendo campos vetoriais, cujo conteúdo principal é cálculo vetorial: (i) campos conservativos e trabalho; (ii) existência de campo a partir de um dado rotacional; (iii) condição de exatidão de um campo em \mathbb{R}^2. Para resolvê-las, vamos usar:
  1. Em campo conservativo, o trabalho de A a B independe do caminho.
  2. Para todo campo suficientemente suave vale \nabla\cdot(\nabla\times\vec F)=0.
  3. Em domínio simplesmente conectado, \vec F=P\,\vec i+Q\,\vec j é conservativo se e somente se \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.

Passo 2

Analisando (a): “Dado um campo de forças conservativo, existe um único caminho que minimiza o trabalho realizado por esta força, para deslocar um objeto de um ponto A até um ponto B.”
Num campo conservativo o trabalho
W=\int_{C}\vec F\cdot d\vec r
depende apenas de A e B, não do caminho C. Logo, qualquer caminho dá o mesmo valor de trabalho, não há um único que minimize; na verdade todos são minimizadores (mesmo trabalho). Portanto a afirmação é falsa.

Passo 3

Analisando (b): “Não existe campo vetorial \vec F tal que \operatorname{rot}\vec F = x\,\vec i - y\,\vec k.”
Se existisse, valeria \nabla\cdot(\operatorname{rot}\vec F)=0. Mas
\nabla\cdot\bigl(x\,\vec i - y\,\vec k\bigr) =\frac{\partial}{\partial x}(x)+\frac{\partial}{\partial y}(0)+\frac{\partial}{\partial z}(-y) =1+0+0=1\neq0.
Isso contradiz \nabla\cdot(\nabla\times\vec F)=0. Logo tal \vec F não existe, e a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Analisando (c): “Se \vec F(x,y)=P(x,y)\,\vec i+Q(x,y)\,\vec j é conservativo, com derivadas parciais contínuas de todas as ordens, então \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}.”
Num domínio simplesmente conectado, condição necessária e suficiente para \vec F ser conservativo (ou campo gradiente) é a igualdade dos mistas:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}.
Portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) FALSA
(b) VERDADEIRA
(c) VERDADEIRA

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