Resolva as inequações:
(i) |x-3|<x+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com valor absoluto
|x-3| < x+1.
O conteúdo aqui é inequações envolvendo valor absoluto. Vamos usar (1) análise do domínio de x para que o lado direito seja compatível e (2) definição de valor absoluto com quebra em casos.

Passo 2

Para que a desigualdade faça sentido com possibilidade de solução, precisamos de x+1>0, pois se x+1\le0 então o lado esquerdo é |x-3|\ge0 e não pode ser estritamente menor que algo não positivo. Logo o domínio é
x+1>0\quad\Longrightarrow\quad x>-1.

Passo 3

Agora, para x>-1, dividimos em dois casos conforme x-3 ser não negativo ou negativo.
Caso 1: x\ge3.
Nesse caso |x-3|=x-3 e a inequação vira
x-3 < x+1.
Subtraindo x dos dois lados:
-3 < 1,
que é sempre verdadeira. Portanto, todo x\ge3 satisfaz a inequação.

Passo 4

Caso 2: -1<x<3.
Aqui x-3<0, logo |x-3|=3-x. A inequação torna-se
3 - x < x + 1.
Somando x e subtraindo 1 em ambos os lados:
2 < 2x \quad\Longrightarrow\quad x > 1.
Interseccionando com -1<x<3, obtemos
1 < x < 3.

Passo 5

Unindo as soluções dos dois casos ( 1<x<3 e x\ge3) dentro do domínio x>-1, temos
x>1.

Resposta

\boxed{\,x>1\,}.

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