Resolva as inequações:
(j) |x-2|+|x-1|>1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação envolvendo valores absolutos
|x-2| + |x-1| > 1.
O conteúdo aqui é a definição de valor absoluto e sua resolução por análise em intervalos definidos pelos pontos onde os radicandos mudam de sinal, que são x=1 e x=2.

Passo 2

Determinamos três zonas de análise, dadas pelas raízes dos radicandos:
  1. x<1,
  2. 1 \le x < 2,
  3. x \ge 2.
Em cada zona, substituímos |x-2| e |x-1| pela forma sem valor absoluto correspondente.

Passo 3

Para x<1 temos x-2<0 e x-1<0, então
|x-2| = 2 - x,\quad |x-1| = 1 - x.
A inequação vira
(2 - x) + (1 - x) > 1 \quad\Longleftrightarrow\quad 3 - 2x > 1 \quad\Longleftrightarrow\quad -2x > -2 \quad\Longleftrightarrow\quad x < 1.
Como esse resultado coincide com a hipótese x<1, toda essa região satisfaz a inequação.

Passo 4

Para 1 \le x < 2 temos x-1 \ge 0 mas x-2<0, então
|x-2| = 2 - x,\quad |x-1| = x - 1.
A soma é
(2 - x) + (x - 1) = 1,
e a inequação 1 > 1 é falsa. Logo, nenhum x em [1,2) resolve a inequação.

Passo 5

Para x \ge 2 temos x-2 \ge 0 e x-1 \ge 0, então
|x-2| = x - 2,\quad |x-1| = x - 1.
A inequação se torna
(x - 2) + (x - 1) > 1 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x - 3 > 1 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x > 4 \quad\Longleftrightarrow\quad x > 2.
Combinando com x \ge 2, concluímos que esta região dá solução quando x>2.

Passo 6

Juntando as partes que funcionaram, obtemos a solução completa
x < 1 \quad\text{ou}\quad x > 2.

Resposta

(-\infty,1)\,\cup\,(2,\infty).

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