Para cada uma das afirmações a seguir, determine se é Verdadeira ou Falsa. Justifique detalhadamente sua resposta.
© (1 ponto) Se
e
são matrizes
que comutam, então
e
também comutam. V
© (1 ponto) Se
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas
e
de ordem
que comutam, ou seja,
. A pergunta é se, ao transpor essas matrizes, as matrizes transpostas
e
também comutam. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa comutação de matrizes e como a transposição afeta esse relacionamento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que duas matrizes comutam. Duas matrizes
e
comutam se
. Isso significa que a ordem em que multiplicamos as matrizes não altera o resultado.
Passo 3
Agora, vamos analisar a transposição de matrizes. A transposta de um produto de matrizes segue a regra
. Isso é importante porque nos ajuda a relacionar os produtos das matrizes transpostas com os produtos originais.
Passo 4
Sabemos que
. Vamos transpor ambos os lados dessa igualdade:
Aplicando a regra da transposta do produto:
Isso mostra que
, ou seja,
e
também comutam.
Resposta
Verdadeira. Se
e
comutam, então suas transpostas
e
também comutam.