Para cada uma das afirmações a seguir, determine se é Verdadeira ou Falsa. Justifique detalhadamente sua resposta.
© (1 ponto) Se A e B são matrizes n times n que comutam, então A^T e B^T também comutam. V

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas e de ordem que comutam, ou seja, . A pergunta é se, ao transpor essas matrizes, as matrizes transpostas e também comutam. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa comutação de matrizes e como a transposição afeta esse relacionamento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que duas matrizes comutam. Duas matrizes e comutam se . Isso significa que a ordem em que multiplicamos as matrizes não altera o resultado.

Passo 3

Agora, vamos analisar a transposição de matrizes. A transposta de um produto de matrizes segue a regra . Isso é importante porque nos ajuda a relacionar os produtos das matrizes transpostas com os produtos originais.

Passo 4

Sabemos que (AB)^T = (BA)^T . Vamos transpor ambos os lados dessa igualdade:
B^TA^T = A^TB^T
Aplicando a regra da transposta do produto:
Isso mostra que , ou seja, e também comutam.

Resposta

Verdadeira. Se e comutam, então suas transpostas e também comutam.

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