Para cada uma das afirmações a seguir diga se é verdadeira ou falsa. No caso verdadeiro apresente uma justificativa e no falso, um contra-exemplo.
Em cada um dos itens
denota um espaço vetorial de dimensão finita.
Toda transformação linear
é injetora.
Toda transformação linear
Passo 1
O enunciado pede que eu diga se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Afirmação: “Toda transformação linear
é injetora.”\n
Informações dadas que vou usar:
Informações dadas que vou usar:
- O domínio é
(espaço vetorial de dimensão ). - O contradomínio/codomínio é
(espaço vetorial de dimensão ). - A afirmação fala sobre todas as transformações lineares desse tipo serem injetoras (ou seja, se isso vale para qualquer
linear entre esses espaços).
Passo 2
Vou lembrar o que significa “injetora” e um critério prático para checar injetividade.\n
Definição: uma transformação linear é injetora se, e somente se, para quaisquer vetores
,
implica
.\n
Um critério útil (muito usado em provas e na hora da prova): é injetora se, e somente se, o núcleo de
é trivial, ou seja,
Definição: uma transformação linear
Um critério útil (muito usado em provas e na hora da prova):
Aqui
. Vou justificar rapidamente esse critério de forma didática:\n
- Se
e , então e pela linearidade . Isso mostra . Mas implica , logo . Assim é injetora.\n - Reciprocamente, se
é injetora e , então . Pela injetividade . Portanto .\n
Esse é o teste prático: verificar se existe vetor não nulo enviado em. Se existir, não é injetora.
Passo 3
Vou introduzir e explicar uma ferramenta essencial que relaciona dimensões: o Teorema da Dimensão (também chamado teorema posto como rank-nullity).\n
Teorema (Rank–Nullity): para uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita ,
Teorema (Rank–Nullity): para uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita
Aqui:
-
é a dimensão do espaço de partida (número de vetores de uma base de ), -
é a nulidade (nullity) — dimensão do núcleo, -
é o posto (rank) — dimensão da imagem de .\n
Aplicando ao nosso caso comobtemos
Dessa igualdade tiramos duas observações práticas:
- Se
for injetora então , logo . Isso é compatível com o codomínio porque . Ou seja, nada impede existir injetora. - Mas o teorema não diz que
precisa ser para qualquer ; diz apenas que soma com a dimensão da imagem é . Portanto podem existir transformações com , e essas seriam não injetoras.
Passo 4
Agora o passo prático: construir um contraexemplo explícito — uma transformação linear
que NÃO é injetora.\n
Um contraexemplo simples e universal é a transformação nula (zero map) definida por
Um contraexemplo simples e universal é a transformação nula (zero map) definida por
Vou checar as propriedades de forma bem explicada:\n
- Linearidade: para quaisquer vetores
e e escalar ,
Logo
é linear.\n
- Núcleo:
. Mas manda todo vetor em , então , cuja dimensão é . Em particular existem vetores não nulos no kernel, por exemplo .\n - Como o núcleo contém vetores não nulos, pelo critério do Passo 2,
não é injetora.\n
Portanto existe ao menos uma transformação linearque não é injetora, o que basta para declarar a afirmação “toda transformação linear … é injetora” falsa.
Passo 5
Para completar a compreensão: apesar de a afirmação ser falsa, existem transformações lineares
que são injetoras. Um exemplo é a inclusão padrão
Verificação rápida:
é linear e
, portanto
é injetora. Isso mostra que a propriedade de ser injetora depende da transformação específica, não é automática para qualquer
.
Resposta
Falso.