Para cada uma das afirmações a seguir diga se é verdadeira ou falsa. No caso verdadeiro apresente uma justificativa e no falso, um contra-exemplo.
Em cada um dos itens V \neq\{0\} denota um espaço vetorial de dimensão finita.
Toda transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} é injetora.

Passo 1

O enunciado pede que eu diga se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Afirmação: “Toda transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{4} é injetora.”\n
Informações dadas que vou usar:
  • O domínio é \mathbb{R}^{3} (espaço vetorial de dimensão 3).
  • O contradomínio/codomínio é \mathbb{R}^{4} (espaço vetorial de dimensão 4).
  • A afirmação fala sobre todas as transformações lineares desse tipo serem injetoras (ou seja, se isso vale para qualquer T linear entre esses espaços).

Passo 2

Vou lembrar o que significa “injetora” e um critério prático para checar injetividade.\n
Definição: uma transformação linear T: V \to W é injetora se, e somente se, para quaisquer vetores u,v\in V, T(u)=T(v) implica u=v.\n
Um critério útil (muito usado em provas e na hora da prova): T é injetora se, e somente se, o núcleo de T é trivial, ou seja,
\ker T = \{0\}.
Aqui \ker T = \{x\in V \mid T(x)=0\}. Vou justificar rapidamente esse critério de forma didática:\n
  • Se \ker T=\{0\} e T(u)=T(v), então T(u)-T(v)=0 e pela linearidade T(u-v)=0. Isso mostra u-v\in\ker T. Mas \ker T=\{0\} implica u-v=0, logo u=v. Assim T é injetora.\n
  • Reciprocamente, se T é injetora e x\in\ker T, então T(x)=0=T(0). Pela injetividade x=0. Portanto \ker T=\{0\}.\n
    Esse é o teste prático: verificar se existe vetor não nulo enviado em 0. Se existir, T não é injetora.

Passo 3

Vou introduzir e explicar uma ferramenta essencial que relaciona dimensões: o Teorema da Dimensão (também chamado teorema posto como rank-nullity).\n
Teorema (Rank–Nullity): para uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão finita T: V\to W,
\dim(V)=\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{im} T).
Aqui:
  • \dim(V) é a dimensão do espaço de partida (número de vetores de uma base de V),
  • \dim(\ker T) é a nulidade (nullity) — dimensão do núcleo,
  • \dim(\operatorname{im} T) é o posto (rank) — dimensão da imagem de T.\n
    Aplicando ao nosso caso com \dim(\mathbb{R}^{3})=3 obtemos
3=\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{im} T).
Dessa igualdade tiramos duas observações práticas:
  • Se T for injetora então \dim(\ker T)=0, logo \dim(\operatorname{im} T)=3. Isso é compatível com o codomínio \mathbb{R}^{4} porque \dim(\operatorname{im} T)\le\dim(\mathbb{R}^{4})=4. Ou seja, nada impede existir T injetora.
  • Mas o teorema não diz que \dim(\ker T) precisa ser 0 para qualquer T; diz apenas que soma com a dimensão da imagem é 3. Portanto podem existir transformações com \dim(\ker T)>0, e essas seriam não injetoras.

Passo 4

Agora o passo prático: construir um contraexemplo explícito — uma transformação linear T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4} que NÃO é injetora.\n
Um contraexemplo simples e universal é a transformação nula (zero map) definida por
T(x,y,z)=(0,0,0,0)\quad\text{para todo }(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}.
Vou checar as propriedades de forma bem explicada:\n
  • Linearidade: para quaisquer vetores u=(x_{1},y_{1},z_{1}) e v=(x_{2},y_{2},z_{2}) e escalar c,
T(u+v)=T(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})=(0,0,0,0)= (0,0,0,0)+(0,0,0,0)=T(u)+T(v),
T(cu)=T(cx_{1},cy_{1},cz_{1})=(0,0,0,0)=c(0,0,0,0)=cT(u).
Logo T é linear.\n
  • Núcleo: \ker T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid T(x,y,z)=(0,0,0,0)\}. Mas T manda todo vetor em (0,0,0,0), então \ker T=\mathbb{R}^{3}, cuja dimensão é 3. Em particular existem vetores não nulos no kernel, por exemplo (1,0,0)\in\ker T.\n
  • Como o núcleo contém vetores não nulos, pelo critério do Passo 2, T não é injetora.\n
    Portanto existe ao menos uma transformação linear \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4} que não é injetora, o que basta para declarar a afirmação “toda transformação linear … é injetora” falsa.

Passo 5

Para completar a compreensão: apesar de a afirmação ser falsa, existem transformações lineares \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{4} que são injetoras. Um exemplo é a inclusão padrão
S(x,y,z)=(x,y,z,0).
Verificação rápida: S é linear e \ker S=\{(0,0,0)\}, portanto S é injetora. Isso mostra que a propriedade de ser injetora depende da transformação específica, não é automática para qualquer T.

Resposta

Falso.

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