Dados os espaços vetoriais
e
com
, seja
uma transformação linear. Mostre que
é injetora se, e somente se,
é sobrejetora. (Isto é, para verificar que
é bijetora, basta verificar que ela é injetora ou é sobrejetora.) Algumas transformações no plano, por exemplo expansões, contrações, rotações e algumas deformações e podem ser descritas por transformações lineares.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
- Espaços vetoriais
e com (ou seja, têm a mesma dimensão finita). - Uma transformação linear
. - O que provar: mostrar que
é injetora se, e somente se, é sobrejetora. Em outras palavras, provar a equivalência
Passo 2
Definições e fatos básicos que vamos usar (muito importantes — lê com calma):
-
é injetora significa que, sempre que , então . Uma forma equivalente e útil para espaços vetoriais é:
onde
é o núcleo (kernel) de
.
-
é sobrejetora significa que , ou seja, toda é imagem de algum . Aqui é a imagem de .
Vou provar já por que
injetora
, porque isso é frequentemente usado:
Prova curta dessa equivalência:
- Se
é injetora e , então . Pela injetividade vem . Assim . - Reciprocamente, se
e então (linearidade), logo . Assim e . Portanto é injetora.
Passo 3
Introdução ao teorema chave: Teorema do posto e nulidade (rank–nullity).
Enunciado (forma que usaremos): para uma transformação linear
com
de dimensão finita,
Aqui
chama-se nulidade (nullity) e
chama-se posto (rank).
Vou explicar e provar este teorema de forma concreta — é essencial entender porque ele é o motor da equivalência pedida.
Prova do teorema do posto-nulidade (passo a passo, estilo amigável):
- Seja
. Escolhe uma base do kernel: seja uma base de . - Como
é uma família linearmente independente em , podemos estendê-la a uma base de . Ou seja, existe uma família de vetores em tal que
é uma base de
. Aqui
.
3. Agora aplique aos vetores dessa base. Note que
porque esses
estão no kernel. Considere a família
3. Agora aplique
Vou mostrar que essa família é uma base de
.
4. Primeiro, provar que gera : tome qualquer vetor
. Então existe
com
. Expressando
na base de
temos
4. Primeiro, provar que gera
Aplicando
e lembrando
obtemos
Logo
é combinação linear dos
. Assim esses vetores geram
.
5. Segundo, provar que são linearmente independentes: suponha que haja escalares tais que
5. Segundo, provar que são linearmente independentes: suponha que haja escalares
Pela linearidade isso significa
, ou seja
. Mas a decomposição da base de
mostra que os vetores
são linearmente independentes modulo o subespaço gerado pelos
. Mais direto: escrevendo
na base completa, os coeficientes em
são exatamente
; se esse vetor está no espaço gerado por
(o kernel), então pela independência desses vetores os coeficientes
devem ser todos zero. Assim os
são linearmente independentes.
6. Conclusão: é uma base de
. Portanto
6. Conclusão:
Rearranjando obtemos exatamente
Isto conclui a prova do teorema do posto-nulidade.
Passo 4
Use prática do teorema para mostrar a implicação
injetora
sobrejetora.
- Suponha
injetora. Então, conforme Passo 2, . Assim . - Aplicando o teorema do Passo 3 (posto-nulidade),
Logo
.
3. Como no enunciado temos , segue
.
4. Agora usamos este fato: se é um subespaço de
e
(ambas finitas), então
. (Raciocínio curto: uma base de
é uma família linearmente independente em
com o mesmo número de vetores que uma base de
; assim deve ser base de
também, logo gera
.)
5. Aplicando isso a obtemos
, ou seja,
é sobrejetora.
3. Como no enunciado temos
4. Agora usamos este fato: se
5. Aplicando isso a
Portanto injetividade implica sobrejetividade.
Passo 5
Agora a implicação no outro sentido:
sobrejetora
injetora.
- Suponha
sobrejetora. Então , logo . - Pelo enunciado
. Portanto . - Aplicando o teorema do Passo 3,
Substituindo
dá
- Subtraindo
dos dois lados obtemos . Assim . - Pelo resultado do Passo 2,
implica que é injetora.
Portanto sobrejetividade implica injetividade.
Passo 6
Conclusão e interpretação intuitiva (um empurrãozinho de confiança):
- Mostramos as duas implicações, então provamos a equivalência:
sempre que
.
Intuição rápida: numa dimensão finita, uma transformação linear não pode “esmagar” vetores (perder dimensão, ficar não-injetora) sem também perder capacidade de alcançar todos os vetores do alvo (não ser sobrejetora), e vice-versa. Exemplos concretos: em
, rotações e expansões são bijetoras; uma projeção sobre uma reta não é injetora nem sobrejetora (porque reduz a dimensão do espaço imagem).
Força aí — se ficou algum passo incerto relê com calma o Passo 3 (posto-nulidade), porque é o coração da prova.