Dados os espaços vetoriais V e W com \operatorname{dim} V=\operatorname{dim} W, seja T: V \rightarrow W uma transformação linear. Mostre que T é injetora se, e somente se, T é sobrejetora. (Isto é, para verificar que T é bijetora, basta verificar que ela é injetora ou é sobrejetora.) Algumas transformações no plano, por exemplo expansões, contrações, rotações e algumas deformações e podem ser descritas por transformações lineares.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
  • Espaços vetoriais V e W com \dim V=\dim W (ou seja, têm a mesma dimensão finita).
  • Uma transformação linear T:V\to W.
  • O que provar: mostrar que T é injetora se, e somente se, T é sobrejetora. Em outras palavras, provar a equivalência
T\\ \text{é injetora}\Longleftrightarrow T\\ \text{é sobrejetora}.éé

Passo 2

Definições e fatos básicos que vamos usar (muito importantes — lê com calma):
  • T é injetora significa que, sempre que T(v_1)=T(v_2), então v_1=v_2. Uma forma equivalente e útil para espaços vetoriais é:
T\\ \text{é injetora}\quad\Longleftrightarrow\quad \ker T=\{0\},é
onde \ker T=\{v\in V\mid T(v)=0\} é o núcleo (kernel) de T.
  • T é sobrejetora significa que \operatorname{Im}T=W, ou seja, toda w\in W é imagem de algum v\in V. Aqui \operatorname{Im}T=\{T(v)\mid v\in V\} é a imagem de T.
Vou provar já por que T injetora \iff \ker T=\{0\}, porque isso é frequentemente usado:
Prova curta dessa equivalência:
  • Se T é injetora e v\in\ker T, então T(v)=0=T(0). Pela injetividade vem v=0. Assim \ker T=\{0\}.
  • Reciprocamente, se \ker T=\{0\} e T(v_1)=T(v_2) então T(v_1-v_2)=0 (linearidade), logo v_1-v_2\in\ker T. Assim v_1-v_2=0 e v_1=v_2. Portanto T é injetora.

Passo 3

Introdução ao teorema chave: Teorema do posto e nulidade (rank–nullity).
Enunciado (forma que usaremos): para uma transformação linear T:V\to W com V de dimensão finita,
\dim V = \dim(\ker T) + \dim(\operatorname{Im}T).
Aqui \dim(\ker T) chama-se nulidade (nullity) e \dim(\operatorname{Im}T) chama-se posto (rank).
Vou explicar e provar este teorema de forma concreta — é essencial entender porque ele é o motor da equivalência pedida.
Prova do teorema do posto-nulidade (passo a passo, estilo amigável):
  1. Seja k=\dim(\ker T). Escolhe uma base do kernel: seja \{u_1,\dots,u_k\} uma base de \ker T.
  2. Como \{u_1,\dots,u_k\} é uma família linearmente independente em V, podemos estendê-la a uma base de V. Ou seja, existe uma família de vetores u_{k+1},\dots,u_n em V tal que
\{u_1,\dots,u_k,u_{k+1},\dots,u_n\}
é uma base de V. Aqui n=\dim V.
3. Agora aplique T aos vetores dessa base. Note que T(u_1)=\dots=T(u_k)=0 porque esses u_i estão no kernel. Considere a família
\{T(u_{k+1}),\dots,T(u_n)\}\subseteq \operatorname{Im}T.
Vou mostrar que essa família é uma base de \operatorname{Im}T.
4. Primeiro, provar que gera \operatorname{Im}T: tome qualquer vetor y\in\operatorname{Im}T. Então existe v\in V com T(v)=y. Expressando v na base de V temos
v = a_1 u_1 + \dots + a_k u_k + a_{k+1}u_{k+1}+\dots+a_n u_n.
Aplicando T e lembrando T(u_1)=\dots=T(u_k)=0 obtemos
y = T(v) = a_{k+1}T(u_{k+1})+\dots+a_n T(u_n).
Logo y é combinação linear dos T(u_{k+1}),\dots,T(u_n). Assim esses vetores geram \operatorname{Im}T.
5. Segundo, provar que são linearmente independentes: suponha que haja escalares b_{k+1},\dots,b_n tais que
b_{k+1}T(u_{k+1})+\dots+b_n T(u_n)=0.
Pela linearidade isso significa T(b_{k+1}u_{k+1}+\dots+b_n u_n)=0, ou seja b_{k+1}u_{k+1}+\dots+b_n u_n\in\ker T. Mas a decomposição da base de V mostra que os vetores u_{k+1},\dots,u_n são linearmente independentes modulo o subespaço gerado pelos u_1,\dots,u_k. Mais direto: escrevendo b_{k+1}u_{k+1}+\dots+b_n u_n na base completa, os coeficientes em u_{k+1},\dots,u_n são exatamente b_{k+1},\dots,b_n; se esse vetor está no espaço gerado por u_1,\dots,u_k (o kernel), então pela independência desses vetores os coeficientes b_{k+1},\dots,b_n devem ser todos zero. Assim os T(u_{k+1}),\dots,T(u_n) são linearmente independentes.
6. Conclusão: \{T(u_{k+1}),\dots,T(u_n)\} é uma base de \operatorname{Im}T. Portanto
\dim(\operatorname{Im}T)=n-k.
Rearranjando obtemos exatamente
\dim V = n = k + (n-k) = \dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T).
Isto conclui a prova do teorema do posto-nulidade.

Passo 4

Use prática do teorema para mostrar a implicação T injetora \Rightarrow T sobrejetora.
  1. Suponha T injetora. Então, conforme Passo 2, \ker T=\{0\}. Assim \dim(\ker T)=0.
  2. Aplicando o teorema do Passo 3 (posto-nulidade),
\dim V = \dim(\ker T) + \dim(\operatorname{Im}T) = 0 + \dim(\operatorname{Im}T).
Logo \dim(\operatorname{Im}T)=\dim V.
3. Como no enunciado temos \dim V=\dim W, segue \dim(\operatorname{Im}T)=\dim W.
4. Agora usamos este fato: se U é um subespaço de W e \dim U=\dim W (ambas finitas), então U=W. (Raciocínio curto: uma base de U é uma família linearmente independente em W com o mesmo número de vetores que uma base de W; assim deve ser base de W também, logo gera W.)
5. Aplicando isso a U=\operatorname{Im}T obtemos \operatorname{Im}T=W, ou seja, T é sobrejetora.
Portanto injetividade implica sobrejetividade.

Passo 5

Agora a implicação no outro sentido: T sobrejetora \Rightarrow T injetora.
  1. Suponha T sobrejetora. Então \operatorname{Im}T=W, logo \dim(\operatorname{Im}T)=\dim W.
  2. Pelo enunciado \dim W=\dim V. Portanto \dim(\operatorname{Im}T)=\dim V.
  3. Aplicando o teorema do Passo 3,
\dim V = \dim(\ker T) + \dim(\operatorname{Im}T).
Substituindo \dim(\operatorname{Im}T)=\dim V
\dim V = \dim(\ker T) + \dim V.
  1. Subtraindo \dim V dos dois lados obtemos \dim(\ker T)=0. Assim \ker T=\{0\}.
  2. Pelo resultado do Passo 2, \ker T=\{0\} implica que T é injetora.
Portanto sobrejetividade implica injetividade.

Passo 6

Conclusão e interpretação intuitiva (um empurrãozinho de confiança):
  • Mostramos as duas implicações, então provamos a equivalência:
T\\ \text{é injetora}\quad\Longleftrightarrow\quad T\\ \text{é sobrejetora},éé
sempre que \dim V=\dim W<\infty.
Intuição rápida: numa dimensão finita, uma transformação linear não pode “esmagar” vetores (perder dimensão, ficar não-injetora) sem também perder capacidade de alcançar todos os vetores do alvo (não ser sobrejetora), e vice-versa. Exemplos concretos: em \mathbb{R}^2, rotações e expansões são bijetoras; uma projeção sobre uma reta não é injetora nem sobrejetora (porque reduz a dimensão do espaço imagem).
Força aí — se ficou algum passo incerto relê com calma o Passo 3 (posto-nulidade), porque é o coração da prova.

Resposta

\;T\\ \text{é injetora}\iff T\\ \text{é sobrejetora.}éé

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