(2,8) Para cada uma das afirmativas abaixo decida se e verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
é uma matriz simetrica, qualquer que seja a matriz A.
Passo 1
O enunciado pergunta se, para uma matriz genérica
, o produto
(onde
é a transposta de
) é sempre uma matriz simétrica. Vamos usar a definição de simetria de matrizes e a propriedade de transposição de produto.
Passo 2
Lembramos que uma matriz
é simétrica se e somente se
Também sabemos que, para quaisquer matrizes
e
cujas dimensões sejam compatíveis, vale a propriedade
Passo 3
Aplicando essa propriedade ao produto
, temos
Como o transposto de
é ele mesmo, concluímos que
é simétrica para qualquer matriz
.
Resposta
(V) Verdadeira.