(2,8) Para cada uma das afirmativas abaixo decida se e verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
(\quad) A \cdot A^{\prime} é uma matriz simetrica, qualquer que seja a matriz A.

Passo 1

O enunciado pergunta se, para uma matriz genérica A, o produto A \cdot A^{\prime} (onde A^{\prime} é a transposta de A) é sempre uma matriz simétrica. Vamos usar a definição de simetria de matrizes e a propriedade de transposição de produto.

Passo 2

Lembramos que uma matriz M é simétrica se e somente se
M = M^{\prime}.
Também sabemos que, para quaisquer matrizes X e Y cujas dimensões sejam compatíveis, vale a propriedade
(XY)^{\prime} = Y^{\prime} X^{\prime}.

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao produto A\,A^{\prime}, temos
\bigl(A\,A^{\prime}\bigr)^{\prime} = \bigl(A^{\prime}\bigr)^{\prime}\,A^{\prime} = A\,A^{\prime}.
Como o transposto de A\,A^{\prime} é ele mesmo, concluímos que A\,A^{\prime} é simétrica para qualquer matriz A.

Resposta

(V) Verdadeira.

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