(2,8) Para cada uma das afirmativas abaixo decida se e verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
(\quad) A matriz A=\left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & -1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 3 & 1 \\\\ -4 & -2 & 2 & 0 \\\\ -1 & 3 & -6 & 0\end{array}\right] e inversivel.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 & 0\\\\ 1 & 0 & 3 & 1\\\\ -4 & -2 & 2 & 0\\\\ -1 & 3 & -6 & 0 \end{pmatrix}
é invertível. Para isso vamos usar o critério de invertibilidade que diz que uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero—o que equivale a dizer que suas linhas (ou colunas) são linearmente independentes.

Passo 2

Basta encontrar uma dependência linear entre as linhas de A. Observamos que a terceira linha é múltiplo da primeira linha:
\text{linha}_3 = (-4,\,-2,\,2,\,0) = -2\,(2,\,1,\,-1,\,0) = -2\,\text{linha}_1.
Isso mostra que as linhas de A são linearmente dependentes, logo \det(A)=0 e \operatorname{rank}(A)<4. Portanto A não pode ser invertível.

Resposta

Falsa.

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