(2,8) Para cada uma das afirmativas abaixo decida se e verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta. (\quad ) Se A e B saio matrizes quadradas então A \cdot B=B \cdot A.
Passo 1
O enunciado pergunta se, para quaisquer matrizes quadradas A e B, vale sempre
A\cdot B \;=\; B\cdot A.
O conteúdo envolvido é a definição de multiplicação de matrizes e a propriedade de comutatividade.
Passo 2
Pela teoria de álgebra linear, a multiplicação de matrizes é associativa, mas não é comutativa em geral. Logo, suspeitamos que a afirmativa seja falsa.
Passo 3
Para mostrar que a afirmativa é falsa, basta apresentar um contraexemplo. Considere as matrizes de ordem 2 definidas por
A = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}
B = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.]