(2,8) Para cada uma das afirmativas abaixo decida se e verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta.
(\quad ) Se A e B saio matrizes quadradas então A \cdot B=B \cdot A.

Passo 1

O enunciado pergunta se, para quaisquer matrizes quadradas A e B, vale sempre
A\cdot B \;=\; B\cdot A.
O conteúdo envolvido é a definição de multiplicação de matrizes e a propriedade de comutatividade.

Passo 2

Pela teoria de álgebra linear, a multiplicação de matrizes é associativa, mas não é comutativa em geral. Logo, suspeitamos que a afirmativa seja falsa.

Passo 3

Para mostrar que a afirmativa é falsa, basta apresentar um contraexemplo. Considere as matrizes de ordem 2 definidas por
A = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}
B = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculemos primeiro A\cdot B:
A\cdot B = \begin{pmatrix}0 & 1\\\\ 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Em seguida, B\cdot A:
B\cdot A = \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\\\ 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Como
\begin{pmatrix}1 & 0\\\\ 0 & 0\end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}0 & 0\\\\ 0 & 1\end{pmatrix},
vemos que A\cdot B \neq B\cdot A.

Resposta

Falsa.

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