(2,0) Considere a matriz A=\left[a_{i j}\right]_{3 \times 3}, tal que a_{i j}=\left\{\begin{array}{lll}i+j & \text { se } & i<j \\\\ 2 i-j & \text { se } & i=j \\\ i-j & \text { se } & i>j\end{array}\right.. Determine a matriz X na equação A X=B, onde B=\left[\begin{array}{l}-2 \\\\ -2 \\\\ -2\end{array}\right] e X=\left[\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right]. Para resolver use o escalonamento de acordo comt o método de Gauss.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
A X = B
por escalonamento (método de Gauss), onde A é uma matriz 3\times3 definida por
a_{ij} = \begin{cases} i+j, & i<j,\\\\ 2i-j, & i=j,\\\ i-j, & i>j \end{cases}
e
B = \begin{pmatrix}-2\\\ -2\\\ -2\end{pmatrix},\quad X = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
O conteúdo é Álgebra Linear, em particular eliminação de Gauss para resolver sistemas.

Passo 2

Vamos primeiro montar A calculando cada entrada:
para i=1: a_{11}=2\cdot1-1=1, a_{12}=1+2=3, a_{13}=1+3=4.
para i=2: a_{21}=2-1=1, a_{22}=2\cdot2-2=2, a_{23}=2+3=5.
para i=3: a_{31}=3-1=2, a_{32}=3-2=1, a_{33}=2\cdot3-3=3.
Logo,
A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4\\\\ 1 & 2 & 5\\\\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad [B|A] = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 4 & -2\\\\ 1 & 2 & 5 & -2\\\\ 2 & 1 & 3 & -2 \end{array}\right).

Passo 3

Eliminamos abaixo de a_{11}.
Aplicamos R_2\leftarrow R_2 - R_1 e R_3\leftarrow R_3 - 2R_1, obtendo
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 4 & -2\\\\ 0 & -1 & 1 & 0\\\\ 0 & -5 & -5 & 2 \end{array}\right).

Passo 4

Agora eliminamos abaixo de -1 em posição (2,2).
Fazemos R_3\leftarrow R_3 - 5R_2, resultando em
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 4 & -2\\\\ 0 & -1 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -10 & 2 \end{array}\right).

Passo 5

Fazemos substituição regressiva:
da terceira linha vem
-10\,z = 2 \quad\Longrightarrow\quad z = -\tfrac{1}{5}.
Da segunda linha vem
-\,y + z = 0 \quad\Longrightarrow\quad -y -\tfrac{1}{5} = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{1}{5}.
Da primeira linha vem
x + 3y + 4z = -2 \quad\Longrightarrow\quad x + 3\bigl(-\tfrac{1}{5}\bigr) + 4\bigl(-\tfrac{1}{5}\bigr) = -2 \quad\Longrightarrow\quad x - \tfrac{7}{5} = -2 \quad\Longrightarrow\quad x = -\tfrac{3}{5}.

Resposta

X = \begin{pmatrix} -\tfrac{3}{5}\\\\ -\tfrac{1}{5}\\\\ -\tfrac{1}{5} \end{pmatrix}.

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